f(f(x)) = 3 tənliyinin köklərinin cəmi

1 · Əsas fikir

Funksiyanın özü ilə kompozisiyası

Əsas fikir

Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

f(f(x)) = c tənliyi. t = f(x) işarə edilir: əvvəl f(t) = c həll olunur, sonra hər kök t üçün f(x) = t tənliyi həll olunur. Müxtəlif köklər bir dəfə sayılır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqf(f(x)) = 3 tənliyinin köklərinin cəmi

f(x) = x² − 2x funksiyası verilmişdir. f(f(x)) = 3 tənliyinin bütün müxtəlif həqiqi köklərinin cəmini tapın. Cavabınızı əsaslandırın.

1. t = f(x) işarə edək. f(t) = 3 ⇔ t² − 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 1) = 0 ⇔ t = 3 və ya t = −1.
2. f(x) = 3: x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 və ya x = −1.
3. f(x) = −1: x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)² = 0 ⇔ x = 1 (ikiqat kök, bir dəfə sayılır).
4. Müxtəlif köklər: −1, 1, 3; cəmi −1 + 1 + 3 = 3.
5. Cavab: 3

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 3: f(3) = 3, f(3) = 3 ✓. x = −1: f(−1) = 3, f(3) = 3 ✓. x = 1: f(1) = −1, f(−1) = 1 + 2 = 3 ✓. Dördüncü dərəcəli tənlik (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0 = (x − 3)(x + 1)(x − 1)² — başqa həqiqi kök yoxdur ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2Yalnız daxili tənlik f(t) = 3 həll edilib və onun köklərinin cəmi götürülüb: 3 + (−1) = 2. Bunlar t = f(x)-in qiymətləridir, x deyil.
• 4f(x) = −1 tənliyinin ikiqat kökü x = 1 iki dəfə sayılıb (Viyet teoremi ilə cəm 2). Müxtəlif köklər: −1, 1, 3.
• 1Yalnız f(x) = −1 halı nəzərə alınıb. f(x) = 3 halı da köklər verir: x = 3 və x = −1.
• −2f(t) = 3 tənliyində Viyet teoremi işarəsiz tətbiq edilib (t₁ + t₂ = −2). x² − 2x − 3 = 0 üçün cəm +2-dir; sonra x-ə keçid də edilməyib.