Kökaltı kvadrat üçhədli: qiymətlər çoxluğu

1 · Əsas fikir

Kökün qiymətlər çoxluğu

Əsas fikir

Kvadrat kök. «Kvadrat kök daxil olan funksiyalarda kökaltı ifadə mənfi qiymət ala bilməz»: √A üçün A ≥ 0. Kök məxrəcdədirsə, o, sıfır da ola bilməz: A > 0. Kökün özü heç vaxt mənfi olmur: √A ≥ 0.

Qiymətlər çoxluğu. E(f) — arqument təyin oblastını gəzəndə funksiyanın aldığı bütün qiymətlərdir. Onu tapmaq üçün funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiymətinə və uc qiymətlərin alınıb-alınmadığına baxılır.

Kvadrat üçhədli. y = ax² + bx + c üçün təpənin absisi x₀ = −b2a / , ordinatı y₀ = y(x₀). a > 0 olduqda E = [y₀; +∞), a < 0 olduqda E = (−∞; y₀]. Eyni nəticə tam kvadrat ayırmaqla da alınır.

Dərslikdəki nümunə: √4 − x² üçün 0 ≤ 4 − x² ≤ 4, ona görə 0 ≤ y ≤ 2.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKökaltı kvadrat üçhədli: qiymətlər çoxluğu

Funksiya verilmişdir:

y = √4 + 3x − x²

Bu funksiyanın qiymətlər çoxluğunu tapın. Cavabınızı əsaslandırın.

1. Təyin oblastı: 4 + 3x − x² ≥ 0 ⇔ x² − 3x − 4 ≤ 0 ⇔ (x − 4)(x + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4.
2. Kökaltı ifadədə tam kvadrat ayıraq: 4 + 3x − x² = 6,25 − (x − 1,5)². Deməli, ən böyük qiyməti 6,25-dir (x = 1,5-də).
3. Təyin oblastında kökaltı ifadə 0-dan (uclarda) 6,25-ə qədər bütün qiymətləri alır: 0 ≤ 4 + 3x − x² ≤ 6,25.
4. Kök alaq: 0 ≤ y ≤ √6,25 = 2,5. Qiymətlər çoxluğu: E = [0; 2,5].
5. Cavab: [0; 2,5]

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

y(−1) = √4 − 3 − 1 = 0, y(1,5) = √4 + 4,5 − 2,25 = √6,25 = 2,5, y(0) = 2 — bu qiymət 0 ilə 2,5 arasındadır. Funksiya kəsilməz olduğundan 0 ilə 2,5 arasındakı hər qiyməti alır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• [0; 6,25]6,25 kökaltı ifadənin ən böyük qiymətidir, funksiyanın deyil. Funksiyanın ən böyük qiyməti √6,25 = 2,5-dir.
• [−1; 4]Bu, təyin oblastıdır (kökaltı ifadənin mənfi olmadığı x-lər). Qiymətlər çoxluğu y-in aldığı qiymətlərdir.
• [0; 2]2 = √4 funksiyanın x = 0-dakı qiymətidir, ən böyük qiymət deyil: kökaltı ifadə ən böyük qiymətini x = 1,5-də alır.
• [0; +∞)√t funksiyası bütün [0; +∞) qiymətlərini yalnız t istənilən mənfi olmayan qiyməti ala bildikdə alır. Burada kökaltı ifadə 6,25-dən böyük ola bilməz.