f(x) = (x + 1)³ + (x − 1)³ funksiyasının tək-cütlüyünü araşdırın. Cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Cüt və tək funksiya
Əsas fikir
Dərslikdən. Təyin oblastı x = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrik olan funksiyalara baxılır: x təyin oblastındadırsa, −x də oradadır. «Təyin oblastından götürülmüş ixtiyari x üçün f(−x) = f(x) olarsa, f(x)-ə cüt funksiya deyilir»; «f(−x) = −f(x) olarsa, f(x)-ə tək funksiya deyilir».
- Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; y) də qrafikdədir.
- Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; −y) də qrafikdədir; tək funksiya x = 0-da təyin olunubsa, f(0) = 0.
- Təyin oblastı x = 0-a nəzərən simmetrik deyilsə və ya hər iki bərabərlik pozulursa, funksiya nə tək, nə də cütdür.
Tək funksiyanın qrafiki
Tək funksiya: (x; y) və (−x; −y) nöqtələri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
Tapşırıqİki kubun cəminin tək-cütlüyü
f(x) = (x + 1)³ + (x − 1)³ funksiyasının tək-cütlüyünü araşdırın. Cavabınızı əsaslandırın.
- Təyin oblastı bütün ədəd oxudur — simmetrikdir.
- f(−x) = (−x + 1)³ + (−x − 1)³.
- −x + 1 = −(x − 1) və −x − 1 = −(x + 1); kub tək qüvvət olduğundan (−a)³ = −a³.
- f(−x) = −(x − 1)³ − (x + 1)³ = −((x + 1)³ + (x − 1)³) = −f(x).
- Nəticə: bütün x üçün f(−x) = −f(x), funksiya təkdir.
- Cavab: f(x) tək funksiyadır
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: mötərizələri açaq — (x + 1)³ + (x − 1)³ = 2x³ + 6x, yalnız tək dərəcəli hədlər ✓; f(1) = 8, f(−1) = 0 + (−8) = −8 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- f(x) cüt funksiyadırİfadə ±1-ə görə «simmetrik» görünür, amma qərarı f(−x) verir: f(1) = 8, f(−1) = −8, yəni f(−1) ≠ f(1).
- f(x) nə tək, nə də cüt funksiyadırToplananların hər biri ayrılıqda nə tək, nə də cütdür, amma cəm təkdir: −x yazdıqda toplananlar yerini dəyişir və hər biri işarəsini dəyişir.
- f(x) həm tək, həm də cüt funksiyadırBelə funksiya yalnız sıfır funksiyasıdır (f(x) = −f(x) ⇒ f(x) = 0). Burada f(1) = 8 ≠ 0.
- f(x)-in təyin oblastı simmetrik deyilÇoxhədli bütün ədəd oxunda təyin olunub; bu çoxluq x = 0-a nəzərən simmetrikdir.