f(x) bütün ədəd oxunda təyin olunmuş cüt funksiyadır və [0; +∞) aralığında azalandır. f(2x − 1) ≥ f(5) bərabərsizliyinin neçə tam həlli var? Cavabı ədəd şəklində yazın və həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Cüt və tək funksiya
Əsas fikir
Dərslikdən. Təyin oblastı x = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrik olan funksiyalara baxılır: x təyin oblastındadırsa, −x də oradadır. «Təyin oblastından götürülmüş ixtiyari x üçün f(−x) = f(x) olarsa, f(x)-ə cüt funksiya deyilir»; «f(−x) = −f(x) olarsa, f(x)-ə tək funksiya deyilir».
- Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; y) də qrafikdədir.
- Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; −y) də qrafikdədir; tək funksiya x = 0-da təyin olunubsa, f(0) = 0.
- Təyin oblastı x = 0-a nəzərən simmetrik deyilsə və ya hər iki bərabərlik pozulursa, funksiya nə tək, nə də cütdür.
Cüt funksiya və modul. Cüt funksiyada f(t) = f(|t|), çünki t < 0 olduqda f(t) = f(−t). Beləliklə, iki qiymətin müqayisəsi [0; +∞) aralığındakı monotonluğa gətirilir.
Cüt funksiyanın qrafiki
Cüt funksiya: (−x; y) və (x; y) nöqtələri ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqCüt funksiya və bərabərsizlik
f(x) bütün ədəd oxunda təyin olunmuş cüt funksiyadır və [0; +∞) aralığında azalandır. f(2x − 1) ≥ f(5) bərabərsizliyinin neçə tam həlli var? Cavabı ədəd şəklində yazın və həllinizi əsaslandırın.
- f cütdür, ona görə hər t üçün f(t) = f(|t|). Bərabərsizlik: f(|2x − 1|) ≥ f(5).
- |2x − 1| və 5 ədədləri [0; +∞) aralığındadır, orada f azalandır: böyük qiymət kiçik arqumentdə alınır. Deməli |2x − 1| ≤ 5.
- −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −2 ≤ x ≤ 3.
- Tam həllər: −2, −1, 0, 1, 2, 3 — cəmi 6.
- Cavab: 6
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: x = −2 ⇒ f(−5) = f(5) ✓; x = 3 ⇒ f(5) ≥ f(5) ✓; x = 4 ⇒ f(7) < f(5) — həll deyil ✓; x = −3 ⇒ f(−7) = f(7) < f(5) — həll deyil ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 3Yalnız 0 ≤ 2x − 1 ≤ 5 halına baxılıb (həllər 1, 2, 3). Cüt funksiyada mənfi arqumentlər də uyğundur: |2x − 1| ≤ 5.
- 4Bərabərsizlik ciddi götürülüb: −2 < x < 3. Şərtdə «≥» var, x = −2 və x = 3 də həlldir (|2x − 1| = 5).
- 11Arqument 2x − 1 əvəzinə x götürülüb: |x| ≤ 5, 11 tam ədəd. Müqayisə olunan 2x − 1-dir.
- Sonsuz saydaMonotonluğun istiqaməti tərsinə götürülüb: |2x − 1| ≥ 5. Azalan funksiyada böyük qiymət kiçik arqumentə uyğundur.