Azalan xətti funksiyanın tərsi

1 · Əsas fikir

Düsturla verilmiş funksiyanın tərsi

Əsas fikir

Dərslikdən. Düsturla verilmiş funksiyanın tərsini tapmaq üçün: 1) verilmiş bərabərlikdən x dəyişəni y-lə ifadə edilir; 2) alınmış bərabərlikdə x-in əvəzinə y, y-in əvəzinə x yazılır.

Teorem (dərslik). Təyin oblastı X, qiymətlər çoxluğu Y aralığı olan f funksiyası artandırsa (azalandırsa), tərsi var və Y aralığında təyin olunan f⁻¹ tərs funksiyası da artandır (azalandır).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqAzalan xətti funksiyanın tərsi

f(x) = 7 − 4x funksiyasının tərs funksiyası hansıdır?

1. y = 7 − 4x yazırıq və x-i y ilə ifadə edirik: 4x = 7 − y, x = 7 − y4 / .
2. x ilə y-in yerini dəyişirik: y = 7 − x4 / . Deməli, f⁻¹(x) = 7 − x4 / .
3. Cavab: f⁻¹(x) = (7 − x)/4

f(x) = 7 − 4x və f⁻¹(x) = (7 − x)/4 qrafikləri

f və f⁻¹ qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir: (1; 3) nöqtəsinə (3; 1), (0; 7) nöqtəsinə (7; 0) uyğundur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(1) = 7 − 4 = 3 və f⁻¹(3) = 7 − 34 / = 1 ✓; f(0) = 7 və f⁻¹(7) = 0 ✓. f azalan funksiyadır, teoremə görə f⁻¹ də azalan olmalıdır: 7 − x4 / funksiyasında x-in əmsalı mənfidir ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• f⁻¹(x) = (x − 7)/4x ifadə edilərkən işarə səhvi edilib: y = 7 − 4x bərabərliyindən 4x = 7 − y alınır, y − 7 yox. Yoxlama: f(1) = 3, lakin (3 − 7)/4 = −1 ≠ 1.
• f⁻¹(x) = 1/(7 − 4x)Tərs funksiya tərs ədədlə qarışdırılıb. f⁻¹(x) ≠ 1f(x) / : məsələn, f(1) = 3, f⁻¹(3) isə 1 olmalıdır, 17 − 4 · 3 / = −0,2 deyil.
• f⁻¹(x) = 7 − x/4Yalnız x 4-ə bölünüb, 7 isə bölünməyib: 4x = 7 − y bərabərliyinin hər iki tərəfi 4-ə bölünməlidir. Yoxlama: 7 − 3/4 = 6,25 ≠ 1.
• f⁻¹(x) = 4x − 7Tərs funksiya «əks işarəli funksiya» sayılıb: −f(x) = 4x − 7. Yoxlama: 4 · 3 − 7 = 5 ≠ 1.