Tərs funksiyanın qiymətini tənlikdən tapmaq

1 · Əsas fikir

f⁻¹(a) qiyməti f(t) = a tənliyindən

Əsas fikir

Tərs funksiyanın qiyməti. f⁻¹(a) = t yazılışı f(t) = a deməkdir: f⁻¹ «cavabdan arqumentə» qayıdır. Buna görə f⁻¹(a)-nı tapmaq üçün f(t) = a tənliyini həll edirik; tərs funksiya «1 bölünsün f» demək deyil: f⁻¹(a) ≠ 1f(a) / .

Dərslikdən. Özünün hər bir qiymətini təyin oblastının yalnız bir nöqtəsində alan funksiyaya tərsi olan (dönən) funksiya deyilir. İstənilən üfüqi düz xətt funksiyanın qrafikini ən çoxu bir nöqtədə kəsərsə, bu funksiyanın tərsi var. Təyin oblastında artan (və ya azalan) funksiyanın tərsi var.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqTərs funksiyanın qiymətini tənlikdən tapmaq

f(x) = x³ + 2x − 5 funksiyasının tərsi var. f⁻¹(7)-ni tapın. Cavabı ədədlə yazın.

1. f⁻¹(7) = t olsun. Tərs funksiyanın tərifinə görə bu f(t) = 7 deməkdir: t³ + 2t − 5 = 7, yəni t³ + 2t = 12.
2. y = t³ və y = 2t artan funksiyalardır, onların cəmi də artandır. Artan funksiya hər qiymətini bir dəfə alır, ona görə tənliyin ən çoxu bir kökü var.
3. Seçməklə: t = 2 olduqda 2³ + 2 · 2 = 8 + 4 = 12 ✓. Deməli, yeganə kök t = 2 və f⁻¹(7) = 2.
4. Cavab: 2

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(2) = 8 + 4 − 5 = 7 ✓, deməli (2; 7) nöqtəsi f-in, (7; 2) nöqtəsi f⁻¹-in qrafiki üzərindədir. Başqa kök yoxdur: t < 2 olduqda t³ + 2t < 12, t > 2 olduqda t³ + 2t > 12 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 352f⁻¹(7) əvəzinə f(7) hesablanıb: 7³ + 2 · 7 − 5 = 343 + 14 − 5 = 352. f⁻¹(7) isə f-in 7-yə bərabər olduğu arqumentdir.
• 1/352f⁻¹(7) 1f(7) / kimi başa düşülüb. Tərs funksiya tərs ədəd deyil: f(t) = 7 tənliyi həll edilməlidir.
• 12Tənlik yarımçıq qalıb: x³ + 2x − 5 = 7 bərabərliyindən x³ + 2x = 12 alınır, bu isə x-in özü deyil. x = 2 olduqda 8 + 4 = 12.
• ∛122x həddi unudulub: x³ − 5 = 7 həll edilib. Yoxlama: x = ∛12 olduqda x³ + 2x − 5 = 7 + 2∛12 ≠ 7.