Kvadrat funksiyanın tərsinin olması üçün təyin oblastı

1 · Əsas fikir

Təyin oblastını daraltmaqla tərsin alınması

Əsas fikir

Dərslikdən. Özünün hər bir qiymətini təyin oblastının yalnız bir nöqtəsində alan funksiyaya tərsi olan (dönən) funksiya deyilir. İstənilən üfüqi düz xətt funksiyanın qrafikini ən çoxu bir nöqtədə kəsərsə, bu funksiyanın tərsi var. Təyin oblastında artan (və ya azalan) funksiyanın tərsi var.

Dərslikdən. y = x² funksiyasının bütün ədəd oxunda tərsi yoxdur, lakin artma və ya azalma aralıqlarının hər birində tərsi var.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKvadrat funksiyanın tərsinin olması üçün təyin oblastı

f(x) = x² − 6x + 5, x ≥ a funksiyasının tərsinin olduğu ən kiçik a ədədini tapın. Cavabı ədədlə yazın.

1. Parabolanın təpəsinin absisi: x₀ = −−62 · 1 / = 3; f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Budaqlar yuxarı yönəlib: f (−∞; 3] aralığında azalır, [3; +∞) aralığında artır.
2. a ≥ 3 olduqda [a; +∞) aralığında f artandır, deməli tərsi var.
3. a < 3 olduqda [a; +∞) aralığına təpənin hər iki tərəfindəki nöqtələr düşür: 3 − t və 3 + t (kiçik t > 0 üçün) eyni qiyməti alır, çünki parabola x = 3 düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. Bu halda tərs yoxdur. Deməli, ən kiçik a = 3.
4. Cavab: 3

y = x² − 6x + 5 parabolası

y = 5 düz xətti bütün parabolanı (0; 5) və (6; 5) nöqtələrində kəsir; x ≥ 3 hissəsini isə hər üfüqi düz xətt ən çoxu bir dəfə kəsir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = 3: f(3) = −4, f(4) = −3, f(5) = 0, f(6) = 5 — qiymətlər artır, təkrarlanmır ✓. a = 2,5: f(2,5) = −3,75 və f(3,5) = −3,75 — eyni qiymət iki nöqtədə, tərs yoxdur ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 1Parabolanın kiçik sıfrı götürülüb. x ≥ 1 olduqda parçada həm azalan [1; 3], həm artan [3; +∞) hissə var: məsələn, f(2) = f(4) = −3, tərs yoxdur.
• 5Parabolanın böyük sıfrı götürülüb. x ≥ 5 olduqda tərs var, lakin bu ən kiçik a deyil: a = 3 və a = 4 üçün də tərs var.
• −3Təpənin absisi işarə səhvi ilə tapılıb: x² − 6x + 5 üçün x₀ = 62 / = 3, −3 yox. x = −3 olduqda f(−3) = 32, f-in qrafikində bu nöqtədən sağda həm azalan, həm artan hissə var.
• −4Təpənin absisi əvəzinə ordinatı götürülüb: f(3) = −4. Şərt x-ə qoyulur, ona görə təpənin absisi lazımdır.