Kəsr-xətti funksiyanın tərsinin təyin oblastı

1 · Əsas fikir

Kəsr-xətti funksiyanın tərsi

Əsas fikir

Dərslikdən. Düsturla verilmiş funksiyanın tərsini tapmaq üçün: 1) verilmiş bərabərlikdən x dəyişəni y-lə ifadə edilir; 2) alınmış bərabərlikdə x-in əvəzinə y, y-in əvəzinə x yazılır.

Dərslikdən. Verilən f funksiyası üçün tərs uyğunluq da funksiya olarsa, f-ə dönən funksiya deyilir; f-in tərsi f⁻¹ ilə işarə edilir. Verilən funksiyanın təyin oblastı tərs funksiyanın qiymətlər çoxluğu, qiymətlər çoxluğu isə tərs funksiyanın təyin oblastı olur: D(f) = E(f⁻¹), E(f) = D(f⁻¹).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKəsr-xətti funksiyanın tərsinin təyin oblastı

f(x) = (2x + 1)/(x − 3) funksiyasının tərs funksiyasını tapın. f⁻¹ funksiyasının təyin oblastına daxil olmayan ədədi tapın. Cavabı ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.

1. y = 2x + 1x − 3 / (x ≠ 3). Hər iki tərəfi x − 3-ə vururuq: y(x − 3) = 2x + 1, yəni xy − 3y = 2x + 1.
2. x olan hədləri bir tərəfə yığırıq: xy − 2x = 3y + 1, x(y − 2) = 3y + 1. y = 2 olduqda 0 = 7 alınır — f 2 qiymətini almır. y ≠ 2 olduqda x = 3y + 1y − 2 / .
3. x ilə y-in yerini dəyişirik: f⁻¹(x) = 3x + 1x − 2 / . Məxrəc x − 2 ≠ 0, deməli f⁻¹-in təyin oblastına daxil olmayan ədəd 2-dir: D(f⁻¹) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞) = E(f).
4. Cavab: 2

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(4) = 91 / = 9, f⁻¹(9) = 27 + 19 − 2 / = 4 ✓; f(0) = −13 / və f⁻¹(−13 / ) = 0, çünki surət 3 · (−13 / ) + 1 = 0 ✓. Addım 2-də görüldüyü kimi f heç vaxt 2-yə bərabər olmur: D(f⁻¹) = E(f) ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 3f-in öz təyin oblastına daxil olmayan ədəd götürülüb (x − 3 ≠ 0). Tərs funksiyanın təyin oblastı f-in qiymətlər çoxluğudur: f⁻¹(x) = 3x + 1x − 2 / üçün x ≠ 2.
• −1/2f-in sıfrı götürülüb: 2x + 1 = 0. f bu nöqtədə təyin olunub (f(−0,5) = 0), bu, təyin oblastı ilə bağlı deyil.
• −1/3f⁻¹-in sıfrı götürülüb: 3x + 1 = 0. Təyin oblastından məxrəci sıfır edən ədəd çıxarılır, surəti yox.
• −2x-i ifadə edərkən işarə səhvi edilib: xy − 2x = 3y + 1 bərabərliyindən x(y − 2) alınır, x(y + 2) yox.