Özünün tərsinə bərabər olan funksiya

1 · Əsas fikir

Özünün tərsi olan funksiya

Əsas fikir

Dərslikdən. Düsturla verilmiş funksiyanın tərsini tapmaq üçün: 1) verilmiş bərabərlikdən x dəyişəni y-lə ifadə edilir; 2) alınmış bərabərlikdə x-in əvəzinə y, y-in əvəzinə x yazılır.

Dərslikdən. (a; b) nöqtəsi verilən funksiyanın qrafiki üzərindədirsə, y = x düz xəttinə nəzərən bu nöqtəyə simmetrik olan (b; a) nöqtəsi tərs funksiyanın qrafiki üzərində olur. Qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.

f⁻¹ = f olduqda f-in qrafiki y = x düz xəttinə nəzərən özünə simmetrikdir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqÖzünün tərsinə bərabər olan funksiya

a-nın hansı qiymətində f(x) = (ax + 2)/(x + 5) funksiyasının tərsi özünə bərabərdir, yəni f⁻¹(x) = f(x)? Cavabı ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.

1. y = ax + 2x + 5 / bərabərliyindən x-i ifadə edirik: y(x + 5) = ax + 2, xy + 5y = ax + 2, x(y − a) = 2 − 5y, x = −5y + 2y − a / (a ≠ 25 / olmalıdır, əks halda f sabitdir və tərsi yoxdur).
2. x ilə y-in yerini dəyişirik: f⁻¹(x) = −5x + 2x − a / .
3. f⁻¹(x) = f(x) bütün x üçün: −5x + 2x − a / = ax + 2x + 5 / . Çarpaz vurub əmsalları müqayisə edirik: (−5x + 2)(x + 5) = −5x² − 23x + 10, (ax + 2)(x − a) = ax² + (2 − a²)x − 2a. x²-nin əmsallarından a = −5; onda 2 − a² = −23 və −2a = 10 də ödənir.
4. Deməli, a = −5.
5. Cavab: −5

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = −5: f(x) = −5x + 2x + 5 / . f(0) = 0,4; f(0,4) = −2 + 25,4 / = 0 ✓ — f iki dəfə tətbiq edildikdə 0 geri qayıdır. f(1) = −36 / = −0,5; f(−0,5) = 2,5 + 24,5 / = 1 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 5Məxrəclər müqayisə edilərkən işarə səhvi edilib: f⁻¹(x) = −5x + 2x − a / , x − a = x + 5 bərabərliyindən a = −5. a = 5 olduqda f⁻¹(x) = −5x + 2x − 5 / , f(x) = 5x + 2x + 5 / — fərqlidir.
• 4Yalnız bir nöqtə yoxlanılıb: f(1) = 1 şərtindən a + 26 / = 1, a = 4. Qrafikin y = x üzərində bir nöqtəsinin olması f⁻¹ = f üçün kifayət deyil: a = 4 olduqda f(0) = 0,4, f⁻¹(0) = −0,5.
• 2/5a = 25 / olduqda ax + 2 = 25 / (x + 5), f(x) = 25 / sabitdir — hər qiymətini sonsuz sayda nöqtədə alır və tərsi ümumiyyətlə yoxdur.
• 0a = 0 olduqda f(x) = 2x + 5 / , tərsi f⁻¹(x) = 2x / − 5 — f-ə bərabər deyil: f(0) = 0,4, f⁻¹(0) təyin olunmayıb.