Təyin oblastı məhdud kvadrat funksiyanın tərsi

1 · Əsas fikir

Kvadrat funksiyanın bir budağının tərsi

Əsas fikir

Dərslikdən. Özünün hər bir qiymətini təyin oblastının yalnız bir nöqtəsində alan funksiyaya tərsi olan (dönən) funksiya deyilir. İstənilən üfüqi düz xətt funksiyanın qrafikini ən çoxu bir nöqtədə kəsərsə, bu funksiyanın tərsi var. Təyin oblastında artan (və ya azalan) funksiyanın tərsi var.

Dərslikdən. Düsturla verilmiş funksiyanın tərsini tapmaq üçün: 1) verilmiş bərabərlikdən x dəyişəni y-lə ifadə edilir; 2) alınmış bərabərlikdə x-in əvəzinə y, y-in əvəzinə x yazılır.

Dərslikdən (Nümunə 4). y = x², x ≥ 0 funksiyasının tərsi y = √x funksiyasıdır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqTəyin oblastı məhdud kvadrat funksiyanın tərsi

f(x) = x² + 4x + 1, x ≥ −2 funksiyasının tərs funksiyasının düsturunu tapın və f⁻¹(13)-ü hesablayın. Cavabı ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.

1. Tam kvadrat ayırırıq: f(x) = x² + 4x + 4 − 3 = (x + 2)² − 3. x ≥ −2 olduqda f artandır (təpə x = −2-dədir), tərsi var; E(f) = [−3; +∞).
2. y = (x + 2)² − 3 ⇒ (x + 2)² = y + 3. x ≥ −2 olduğundan x + 2 ≥ 0, ona görə x + 2 = √(y + 3), x = √(y + 3) − 2.
3. x ilə y-in yerini dəyişirik: f⁻¹(x) = √(x + 3) − 2, D(f⁻¹) = [−3; +∞).
4. f⁻¹(13) = √(13 + 3) − 2 = √16 − 2 = 4 − 2 = 2.
5. Cavab: 2

f(x) = x² + 4x + 1 (x ≥ −2) və onun tərsinin qrafikləri

Parabolanın x ≥ −2 budağı və onun y = x düz xəttinə nəzərən simmetriki: (2; 13) nöqtəsinə (13; 2) uyğundur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(2) = 4 + 8 + 1 = 13 ✓ və 2 ≥ −2 ✓. Digər yoxlama: f⁻¹(−3) = √0 − 2 = −2, f(−2) = −3 ✓ — təpə nöqtəsi (−2; −3) tərs qrafikdə (−3; −2) olur.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −6(x + 2)² = 16 tənliyinin digər kökü götürülüb. x = −6 şərtə (x ≥ −2) daxil deyil: f yalnız [−2; +∞) aralığında verilib, ona görə x + 2 ≥ 0 və x + 2 = 4.
• 222f⁻¹(13) əvəzinə f(13) hesablanıb: 13² + 4 · 13 + 1 = 169 + 52 + 1 = 222.
• 4Həll yarımçıq qalıb: x + 2 = 4 tapılıb, x isə 4 − 2 = 2-dir.
• √13 − 2Tam kvadrat ayrılarkən 3 itib: x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3, ona görə f⁻¹(x) = √(x + 3) − 2 və f⁻¹(13) = √16 − 2 = 2.