Tavandan asılmış lampa döşəmədə dairəvi sahəni işıqlandırır. Dairənin mərkəzi lampadan döşəməyə endirilmiş perpendikulyarın oturacağıdır, dairənin kənarına düşən şüaların döşəmə ilə əmələ gətirdiyi bucaq isə lampanın hündürlüyündən asılı deyil. Lampa döşəmədən 1,5 m hündürlükdə olanda radiusu 1 m olan dairə işıqlanır.
Ölçüləri 3,2 m və 2,4 m olan düzbucaqlı xalçanın mərkəzi işıq dairəsinin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Xalçanın tam işıqlanması üçün lampanı döşəmədən ən azı hansı hündürlükdə asmaq lazımdır? Həllinizi əsaslandırın və cavabı metrlə yazın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Şüa maildir, radius onun proyeksiyasıdır
Əsas fikir
Dərslikdən. Fəzanın A nöqtəsindən keçən və α müstəvisinə perpendikulyar olub onu P nöqtəsində kəsən düz xəttin AP parçasına A nöqtəsindən α müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar, A nöqtəsini müstəvinin P-dən fərqli B nöqtəsi ilə birləşdirən AB parçasına mail deyilir. P — perpendikulyarın oturacağı, B — mailin oturacağı, BP isə mailin müstəvi üzərində proyeksiyasıdır.
AP ⊥ α olduğundan AP müstəvi üzərindəki PB düz xəttinə də perpendikulyardır. Deməli, APB üçbucağı P təpəsində düzbucaqlıdır, AB isə onun hipotenuzudur: AB² = AP² + PB².
Dərslikdən. Maillə onun müstəvi üzərindəki proyeksiyasının əmələ gətirdiyi bucağa maillə müstəvi arasındakı bucaq deyilir. APB düzbucaqlı üçbucağında bu φ = ∠ABP bucağıdır: sin φ = APAB / , cos φ = PBAB / , tg φ = APPB / .
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqLampa və işıqlanan xalça
Tavandan asılmış lampa döşəmədə dairəvi sahəni işıqlandırır. Dairənin mərkəzi lampadan döşəməyə endirilmiş perpendikulyarın oturacağıdır, dairənin kənarına düşən şüaların döşəmə ilə əmələ gətirdiyi bucaq isə lampanın hündürlüyündən asılı deyil. Lampa döşəmədən 1,5 m hündürlükdə olanda radiusu 1 m olan dairə işıqlanır.
Ölçüləri 3,2 m və 2,4 m olan düzbucaqlı xalçanın mərkəzi işıq dairəsinin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Xalçanın tam işıqlanması üçün lampanı döşəmədən ən azı hansı hündürlükdə asmaq lazımdır? Həllinizi əsaslandırın və cavabı metrlə yazın.
- Lampa L, döşəmə müstəvidir: LP perpendikulyar (hündürlük h), kənar şüa LK maildir, PK isə onun proyeksiyası — işıq dairəsinin radiusu r. LK-nın döşəmə ilə bucağı φ = ∠LKP-dir.
- φ dəyişmədiyindən tg φ = hr / sabitdir: 1,51 / = 1,5. Deməli, istənilən hündürlükdə h = 1,5r.
- Xalça tam işıqlanır ⇔ onun dörd təpəsi dairənin içindədir. Mərkəzdən təpəyə məsafə diaqonalın yarısıdır: ½√(3,2² + 2,4²) = ½√(10,24 + 5,76) = ½√16 = 2 (m). Deməli, r ≥ 2 m olmalıdır.
- h = 1,5r ≥ 1,5 · 2 = 3 (m). Ən kiçik hündürlük 3 m-dir.
- Cavab: 3 m
Lampa və işıqlanan dairə
LP = 3 m perpendikulyarı, LK kənar şüası (mail) və PK = 2 m radiusu (proyeksiya); dairə xalçanın təpələrindən keçir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
h = 3 m olanda r = 31,5 / = 2 m — dairə xalçanın dörd təpəsindən keçir ✓; kənar şüa LK = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,6 m. Lampa aşağı olsa (məsələn, 2,4 m), r = 1,6 m < 2 m və təpələr qaranlıqda qalır ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 2,4 mRadius kimi uzun tərəfin yarısı (1,6 m) götürülüb: 1,5 · 1,6 = 2,4. Onda xalçanın təpələri dairədən kənarda qalır — təpəyə qədər məsafə 2 m-dir.
- 1,8 mRadius kimi qısa tərəfin yarısı (1,2 m) götürülüb. Bu hündürlükdə yalnız xalçanın ortası işıqlanır.
- 6 mRadius kimi bütöv diaqonal (4 m) götürülüb. Xalçanın mərkəzi dairənin mərkəzidir, təpəyə qədər məsafə diaqonalın yarısıdır.
- 4/3 mNisbət tərsinə yazılıb: h = r1,5 / . Şərtə görə hündürlük radiusdan 1,5 dəfə böyükdür: h = 1,5r.