Altı nöqtə, onlardan dördü bir müstəvidə: müstəvilərin sayı

1 · Əsas fikir

Komplanar nöqtələr bir müstəvi verir

Əsas fikir

Aksiomlar (dərslikdən). 1) İxtiyari müstəvi üçün bu müstəviyə aid olan nöqtələr və ona aid olmayan nöqtələr var. 2) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişirlər. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Terminlər. Bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələr kollinear, eyni müstəvi üzərində yerləşən nöqtələr komplanar nöqtələrdir. Kollinear üç nöqtədən sonsuz sayda müstəvi keçir — onlar müstəvini müəyyən etmir.

Üçlükləri saymaq. n nöqtədən üçünü seçməyin yollarının sayı n·(n − 1)·(n − 2) : 6-dır: sıra ilə seçəndə n·(n − 1)·(n − 2) yol alınır, eyni üç nöqtə isə 3·2·1 = 6 müxtəlif sırada sayılır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqAltı nöqtə, onlardan dördü bir müstəvidə: müstəvilərin sayı

A, B, C, D nöqtələri α müstəvisi üzərindədir və onlardan heç üçü bir düz xətt üzərində deyil. E və F nöqtələri α müstəvisinə aid deyil. Bu altı nöqtədən A, B, C, D dördlüyündən başqa heç bir dördü bir müstəvi üzərində deyil.

Hər biri bu nöqtələrdən üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var? Cavabı ədədlə yazın.

1. A, B, C, D-dən götürülən istənilən üç nöqtə kollinear deyil və hamısı α-dadır, ona görə bu 4 üçlüyün hər biri eyni α müstəvisini verir: 1 müstəvi.
2. Qalan üçlüklərin hər birində E və ya F var. İki belə üçlük eyni müstəvini versəydi, o müstəvidə ən azı dörd nöqtə olardı və onların arasında E və ya F olardı — şərtə görə bu mümkün deyil. Eyni səbəbdən belə üçlüklərdə kollinear nöqtələr yoxdur. Deməli, hər belə üçlük ayrıca müstəvi verir.
3. E və α-dakı iki nöqtə: A, B, C, D-dən ikisini seçmək — 4·3 : 2 = 6 müstəvi. F və α-dakı iki nöqtə: daha 6 müstəvi. E, F və α-dakı bir nöqtə: 4 müstəvi.
4. Cəmi: 1 + 6 + 6 + 4 = 17.
5. Cavab: 17 müstəvi

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Başqa yolla: 6 nöqtədən bütün üçlüklər 6·5·4 : 6 = 20-dir. Onlardan A, B, C, D-dən götürülən 4 üçlük eyni α müstəvisini verir, ona görə bu 4 üçlük 1 müstəvi kimi sayılır: 20 − 4 + 1 = 17.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 13E, F və α-dakı bir nöqtədən keçən 4 müstəvi (EFA, EFB, EFC, EFD) unudulub: 1 + 6 + 6 = 13.
• 16A, B, C, D-dən götürülən 4 üçlük atılıb (20 − 4 = 16), lakin onların verdiyi α müstəvisinin özü sayılmayıb: 16 + 1 = 17.
• 20Bütün üçlüklər sayılıb (6·5·4 : 6 = 20). Lakin A, B, C, D-dən götürülən 4 üçlüyün hamısı eyni α müstəvisini verir — α bir dəfə sayılmalıdır.
• 2120 üçlüyün üstünə α ayrıca əlavə edilib. α həmin 20-nin içində artıq 4 dəfə sayılıb; düzgün hesab 20 − 4 + 1 = 17-dir.