Kubun iki diaqonal müstəvisinin kəsişmə xətti

1 · Əsas fikir

İki müstəvi düz xətt üzrə kəsişir

Əsas fikir

Aksiomlar (dərslikdən). 1) İxtiyari müstəvi üçün bu müstəviyə aid olan nöqtələr və ona aid olmayan nöqtələr var. 2) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişirlər. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Nəticələr. Bir və yalnız bir müstəvi keçir: düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtədən; iki kəsişən düz xətdən; müxtəlif iki paralel düz xətdən. Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, onun bütün nöqtələri həmin müstəvi üzərindədir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKubun iki diaqonal müstəvisinin kəsişmə xətti

Şəkildəki ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunda O nöqtəsi AC və BD diaqonallarının, O₁ nöqtəsi isə A₁C₁ və B₁D₁ diaqonallarının kəsişmə nöqtəsidir.

AA₁C₁C və BB₁D₁D müstəvilərinin kəsişmə xətti hansıdır?

1. O nöqtəsi AC diaqonalının üzərindədir, AC isə AA₁C₁C müstəvisindədir — O birinci müstəviyə aiddir. O həm də BD-nin üzərindədir və BD BB₁D₁D müstəvisindədir. Deməli, O hər iki müstəvinin ortaq nöqtəsidir.
2. Eyni qayda ilə O₁ (A₁C₁ və B₁D₁-in kəsişmə nöqtəsi) hər iki müstəviyə aiddir.
3. Aksiom 2-yə görə bu müxtəlif müstəvilər ortaq nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişir. Həmin düz xəttə O və O₁ ikisi də aiddir, iki nöqtədən isə bir və yalnız bir düz xətt keçir.
4. Kəsişmə xətti OO₁ düz xəttidir.
5. Cavab: OO₁

Kub və onun diaqonal kəsikləri

AA₁C₁C (qırmızı) və BB₁D₁D (göy) müstəviləri. Ortaq nöqtələr O və O₁ — kəsişmə xətti OO₁ (qırmızı qırıq xətt, kubun daxilindədir).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlayaq: OO₁ hər iki diaqonal kəsiyin (AA₁C₁C və BB₁D₁D düzbucaqlılarının) ortasından keçir və AA₁ tilinə paraleldir; onun hər nöqtəsi hər iki müstəvidədir. Digər variantların hər birinin heç olmasa bir ucu müstəvilərdən birinə aid deyil.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• AC₁AC₁ AA₁C₁C müstəvisindədir, lakin A nöqtəsi BB₁D₁D müstəvisinə aid deyil. AC₁ ikinci müstəvini yalnız bir nöqtədə (kubun mərkəzində) kəsir — kəsişmə xəttinin isə hər nöqtəsi hər iki müstəvidə olmalıdır.
• BD₁BD₁ BB₁D₁D müstəvisindədir, amma B nöqtəsi AA₁C₁C müstəvisinə aid deyil; BD₁ birinci müstəvini yalnız kubun mərkəzində kəsir.
• AA₁AA₁ birinci müstəvinin tilidir, lakin A və A₁ nöqtələri BB₁D₁D müstəvisinə aid deyil — AA₁ ikinci müstəvidə yatmır.
• B₁D₁B₁D₁ ikinci müstəvidədir, lakin B₁ nöqtəsi AA₁C₁C müstəvisinə aid deyil; B₁D₁ birinci müstəvi ilə yalnız O₁ nöqtəsində görüşür.