Çarpaz düz xətlər üzərindəki dörd nöqtə

1 · Əsas fikir

Çarpaz düz xətlər bir müstəvidə yatmır

Əsas fikir

Fəzada iki düz xətt ya kəsişir, ya paraleldir (eyni müstəvidə yerləşib kəsişmir), ya da çarpazdır — paralel deyil və kəsişmir. İki çarpaz düz xəttin hər ikisindən bir müstəvi keçirmək mümkün deyil. Əlamət: iki düz xətdən biri digərinin yerləşdiyi müstəvini bu düz xəttə aid olmayan nöqtədə kəsərsə, onlar çarpazdır.

Aksiomlar (dərslikdən). 1) İxtiyari müstəvi üçün bu müstəviyə aid olan nöqtələr və ona aid olmayan nöqtələr var. 2) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişirlər. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Nəticələr. Bir və yalnız bir müstəvi keçir: düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtədən; iki kəsişən düz xətdən; müxtəlif iki paralel düz xətdən. Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvi üzərindədirsə, onun bütün nöqtələri həmin müstəvi üzərindədir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqÇarpaz düz xətlər üzərindəki dörd nöqtə

a və b çarpaz düz xətlərdir. A və B nöqtələri a düz xəttinin, C və D nöqtələri isə b düz xəttinin üzərindədir (dörd nöqtə müxtəlifdir).

Hər biri bu dörd nöqtədən üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var? Cavabı ədədlə yazın və əsaslandırın.

1. A, B, C, D bir müstəvidə ola bilməz. Əks halda o müstəvi a-nın iki nöqtəsini (A, B) saxlayardı, deməli bütün a-nı; eyni qayda ilə bütün b-ni. Onda a və b bir müstəvidə olardı, çarpaz düz xətlər isə bir müstəvidə yerləşmir.
2. Heç üç nöqtə kollinear deyil. Məsələn, A, B, C bir düz xətt üzərində olsaydı, bu düz xətt a olardı (A və B-dən yalnız a keçir) və C ∈ a — onda a və b C-də kəsişərdi. A, C, D kollinear olsaydı, A ∈ b olardı. Digər üçlüklər də belədir.
3. Deməli, hər üçlükdən bir və yalnız bir müstəvi keçir (Aksiom 3) və dörd nöqtə komplanar olmadığından müxtəlif üçlüklər müxtəlif müstəvilər verir.
4. Dörd nöqtədən üçlük seçmək — bir nöqtəni kənarda qoymaq: ABC, ABD, ACD, BCD. Cavab: 4 müstəvi.
5. Cavab: 4 müstəvi

İki çarpaz düz xətt və onların üzərindəki dörd nöqtə

Çarpaz a (qırmızı) və b (göy) düz xətləri; A, B ∈ a, C, D ∈ b. AC, AD, BC, BD parçaları ABCD tetraedrini əmələ gətirir — dörd üzü dörd müstəvidir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Müstəviləri yoxlayaq: ABC və ABD a-nı saxlayır və b-ni müxtəlif nöqtələrdə (C və D) kəsir — fərqlidir; ACD və BCD b-ni saxlayır və a-nı A və B-də kəsir — fərqlidir. Dörd nöqtə tetraedrin təpələridir, müstəvilər onun dörd üzüdür.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 1Dörd nöqtə komplanar sayılıb. Onlar bir müstəvidə olsaydı, a (A və B ilə) və b (C və D ilə) də o müstəvidə olardı — çarpaz düz xətlər isə bir müstəvidə yerləşmir.
• 2Yalnız a düz xəttindən keçən ABC və ABD müstəviləri sayılıb; b-dən keçən ACD və BCD də var.
• 6Nöqtə cütləri sayılıb (4·3 : 2 = 6). Müstəvini cüt yox, kollinear olmayan üçlük təyin edir.
• sonsuz saydaÜç nöqtənin kollinear olduğu güman edilib. Lakin C ∉ a və A ∉ b, ona görə heç üç nöqtə bir düz xətt üzərində deyil.