Kubun diaqonalına çarpaz olan tillər

1 · Əsas fikir

Kəsişən, paralel, çarpaz

Əsas fikir

Fəzada iki düz xətt ya kəsişir, ya paraleldir (eyni müstəvidə yerləşib kəsişmir), ya da çarpazdır — paralel deyil və kəsişmir. İki çarpaz düz xəttin hər ikisindən bir müstəvi keçirmək mümkün deyil. Əlamət: iki düz xətdən biri digərinin yerləşdiyi müstəvini bu düz xəttə aid olmayan nöqtədə kəsərsə, onlar çarpazdır.

Kub və düzbucaqlı paralelepiped. Bütün üzlər düzbucaqlıdır (kubda kvadratdır); eyni istiqamətli tillər paraleldir: AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, AB ∥ DC ∥ A₁B₁ ∥ D₁C₁, AD ∥ BC ∥ A₁D₁ ∥ B₁C₁. Qarşı tillərdən keçən AA₁C₁C kimi kəsiklər də düzbucaqlıdır, ona görə AC ∥ A₁C₁.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKubun diaqonalına çarpaz olan tillər

Şəkildəki ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunda B₁D diaqonalı çəkilmişdir. Kubun tillərini özündə saxlayan 12 düz xətdən neçəsi B₁D düz xətti ilə çarpazdır? Cavabı ədədlə yazın.

1. B₁D diaqonalı B₁ və D təpələrindən keçir. B₁-dən çıxan A₁B₁, B₁C₁, BB₁ və D-dən çıxan AD, DC, DD₁ tilləri diaqonalla kəsişir — 6 til.
2. Qalan 6 til: AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁, A₁A. Onların hər biri diaqonalın bir ucunu saxlayan üzdə yatır: AB, BC, CC₁ — B₁-i saxlayan ABB₁A₁ və BCC₁B₁ üzlərində; C₁D₁, D₁A₁, A₁A — D-ni saxlayan DCC₁D₁ və ADD₁A₁ üzlərində.
3. Diaqonal həmin üzün müstəvisini yalnız öz ucunda (B₁ və ya D-də) kəsir və bu uc götürülən tilin üzərində deyil. Əlamətə görə hər belə til diaqonalla çarpazdır.
4. Paralel til yoxdur. Cavab: 6 düz xətt çarpazdır.
5. Cavab: 6

Kub və B₁D diaqonalı

B₁D diaqonalı (qırmızı) və onunla çarpaz olan altı til (göy): AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁, A₁A. Qalan tillər B₁ və ya D təpəsindən keçir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Bölgünü yoxlayaq: 6 kəsişən + 0 paralel + 6 çarpaz = 12 til. Çarpaz tillər hər istiqamətdə ikidir: AB və C₁D₁, BC və A₁D₁, AA₁ və CC₁.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 3Hər istiqamətdən yalnız bir til sayılıb. Çarpaz tillər üç istiqamətin hər birində ikidir: AB və C₁D₁, BC və D₁A₁, CC₁ və AA₁.
• 4Til üçün bilinən nəticə (kubun hər tilinə 4 til çarpazdır) diaqonala köçürülüb. Diaqonal heç bir tilə paralel deyil, ona görə ona çarpaz tillər daha çoxdur.
• 9Yalnız bir ucdan çıxan 3 til kəsişən sayılıb (12 − 3 = 9). Diaqonal həm B₁-dən, həm də D-dən çıxan tillərlə kəsişir: 12 − 6 = 6.
• 12Diaqonal kubun daxilindən keçdiyi üçün heç bir tillə kəsişmədiyi güman edilib. Halbuki onun ucları kubun təpələridir və həmin təpələrdən çıxan 6 til onunla kəsişir.