Kubda iki üz diaqonalı arasındakı bucaq

1 · Əsas fikir

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq

Əsas fikir

Fəzada iki düz xətt ya kəsişir, ya paraleldir (eyni müstəvidə yerləşib kəsişmir), ya da çarpazdır — paralel deyil və kəsişmir. İki çarpaz düz xəttin hər ikisindən bir müstəvi keçirmək mümkün deyil. Əlamət: iki düz xətdən biri digərinin yerləşdiyi müstəvini bu düz xəttə aid olmayan nöqtədə kəsərsə, onlar çarpazdır.

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq onlara paralel olan iki kəsişən düz xətt arasındakı bucaqdır. Adətən düz xətlərdən birini ona paralel olan və digərini kəsən düz xətlə əvəz edirik. Kəsişən iki düz xətt arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur: kor bucaq alınarsa, onun qonşu bucağı (180°-yə tamamlayanı) götürülür.

Kub və düzbucaqlı paralelepiped. Bütün üzlər düzbucaqlıdır (kubda kvadratdır); eyni istiqamətli tillər paraleldir: AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, AB ∥ DC ∥ A₁B₁ ∥ D₁C₁, AD ∥ BC ∥ A₁D₁ ∥ B₁C₁. Qarşı tillərdən keçən AA₁C₁C kimi kəsiklər də düzbucaqlıdır, ona görə AC ∥ A₁C₁.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKubda iki üz diaqonalı arasındakı bucaq

Şəkildəki ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunda A₁C₁ və B₁C düz xətləri arasındakı bucağı tapın. Cavabı dərəcə ilə, yalnız ədədlə yazın.

1. A₁C₁ və B₁C çarpazdır: B₁C üst üzün müstəvisini B₁-də kəsir, B₁ isə A₁C₁ üzərində deyil.
2. A₁C₁-i ona paralel AC diaqonalı ilə əvəz edək (AA₁C₁C düzbucaqlıdır, AC ∥ A₁C₁). AC və B₁C C nöqtəsində kəsişir, axtarılan bucaq ∠ACB₁-dir.
3. AB₁C üçbucağının tərəfləri AC, B₁C və AB₁ kubun üç üzünün diaqonallarıdır. Kubun üzləri bərabər kvadratlardır, ona görə bu diaqonallar bərabərdir: üçbucaq bərabərtərəflidir.
4. Bərabərtərəfli üçbucağın bucağı 60°-dir: ∠ACB₁ = 60°.
5. Cavab: 60°

Kubda A₁C₁ və B₁C düz xətləri

A₁C₁ ∥ AC (qırmızı). AC, B₁C və AB₁ üz diaqonallarıdır — AB₁C bərabərtərəfli üçbucaqdır, C bucağı 60°-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Til uzunluğu a olsun: AC = B₁C = AB₁ = a√2. Kosinuslar teoremi: cos∠ACB₁ = (2a² + 2a² − 2a²) : (2·2a²) = 1/2, bucaq 60° — iti bucaqdır, düz xətlər arasındakı bucaq da odur.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 30°Alınan bərabərtərəfli üçbucağın bucağı yarıya bölünüb. AB₁C üçbucağının hər bucağı 60°-dir və axtarılan bucaq məhz onun C bucağıdır.
• 45°Üz diaqonalının tillə bucağı (45°) götürülüb. Burada iki diaqonal arasındakı bucaq axtarılır, ona görə AB₁C üçbucağına baxmaq lazımdır.
• 90°Düz xətlər müxtəlif üzlərdə olduğu üçün perpendikulyar sayılıb. A₁C₁-i ona paralel AC ilə əvəz etsək, AC və B₁C bərabərtərəfli üçbucağın tərəfləri olur — bucaq 60°-dir.
• 120°Kəsişən düz xətlərin kor bucağı götürülüb. Düz xətlər arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur.