ABCDA₁B₁C₁D₁ düzbucaqlı paralelepipedi, AB = AD = 4, AA₁ = 3 nisbətində çəkilib; ön üzdə A₁B diaqonalı qırmızı, sağ yan üzdə B₁C diaqonalı göy rəngdədir. Görünməyən tillər qırıq xətlədir. ABCDA₁B₁C₁D₁ düzbucaqlı paralelepipedində AB = AD = 4 və AA₁ = 3-dür. A₁B və B₁C düz xətləri arasındakı bucağın kosinusunu tapın. Cavabı onluq kəsr kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.

Paralelepipedin iki üz diaqonalı arasındakı bucaq

Mətn

ABCDA₁B₁C₁D₁ düzbucaqlı paralelepipedi, AB = AD = 4, AA₁ = 3 nisbətində çəkilib; ön üzdə A₁B diaqonalı qırmızı, sağ yan üzdə B₁C diaqonalı göy rəngdədir. Görünməyən tillər qırıq xətlədir.

ABCDA₁B₁C₁D₁ düzbucaqlı paralelepipedində AB = AD = 4 və AA₁ = 3-dür. A₁B və B₁C düz xətləri arasındakı bucağın kosinusunu tapın. Cavabı onluq kəsr kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Paralel düz xəttə keçib üçbucaqdan bucaq tapmaq

Əsas fikir

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq onlara paralel olan iki kəsişən düz xətt arasındakı bucaqdır. Adətən düz xətlərdən birini ona paralel olan və digərini kəsən düz xətlə əvəz edirik. Kəsişən iki düz xətt arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur: kor bucaq alınarsa, onun qonşu bucağı (180°-yə tamamlayanı) götürülür.

Kub və düzbucaqlı paralelepiped. Bütün üzlər düzbucaqlıdır (kubda kvadratdır); eyni istiqamətli tillər paraleldir: AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, AB ∥ DC ∥ A₁B₁ ∥ D₁C₁, AD ∥ BC ∥ A₁D₁ ∥ B₁C₁. Qarşı tillərdən keçən AA₁C₁C kimi kəsiklər də düzbucaqlıdır, ona görə AC ∥ A₁C₁.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqParalelepipedin iki üz diaqonalı arasındakı bucaq

A₁D₁ ∥ AD ∥ BC və A₁D₁ = AD = BC, ona görə A₁BCD₁ dördbucaqlısı paraleloqramdır və A₁B ∥ D₁C. A₁B-ni D₁C ilə əvəz edək: D₁C və B₁C C nöqtəsində kəsişir.
B₁CD₁ üçbucağının tərəfləri (Pifaqor teoremi ilə): B₁C² = BC² + BB₁² = 16 + 9 = 25; CD₁² = CD² + DD₁² = 16 + 9 = 25; B₁D₁² = B₁C₁² + C₁D₁² = 16 + 16 = 32.
Kosinuslar teoremi: cos∠B₁CD₁ = (B₁C² + CD₁² − B₁D₁²) : (2·B₁C·CD₁) = (25 + 25 − 32) : (2·5·5) = 18 : 50 = 0,36.
Kosinus müsbətdir — ∠B₁CD₁ itidir, deməli düz xətlər arasındakı bucaq məhz odur. Cavab: 0,36.
Cavab: 0,36

Düzbucaqlı paralelepiped: A₁B və B₁C

A₁B ∥ D₁C (qırmızı; D₁C arxa üzdədir). B₁CD₁ üçbucağında C bucağı düz xətlər arasındakı bucaqdır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Bərabəryanlı B₁CD₁ üçbucağını hündürlüklə yoxlayaq: C-dən B₁D₁-ə endirilən hündürlük onu yarıya bölür, yarım bucağın sinusu (√32 : 2) : 5 = √8 : 5, sin²φ = 8/25; cos(2φ) = 1 − 2 sin²φ = 1 − 16/25 = 9/25 = 0,36. Eyni nəticə.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

−0,36Kosinuslar teoremində işarə dəyişib: (32 − 50) : 50. Həm də düz xətlər arasındakı bucaq kor olmur, onun kosinusu mənfi ola bilməz.
0,5B₁CD₁ üçbucağı kubdakı kimi bərabərtərəfli sayılıb. Burada B₁D₁ = √32, digər iki tərəf isə 5-dir — üçbucaq bərabəryanlıdır, bucaq 60° deyil.
0,64B₁D₁ hündürlüklə qarışdırılıb: B₁D₁² = 3² + 3² = 18 götürülüb, (50 − 18) : 50 = 0,64. B₁D₁ üst üzün (4 × 4 kvadratın) diaqonalıdır: B₁D₁² = 16 + 16 = 32.
0,72Kosinuslar teoremində məxrəcdəki 2 unudulub: 18 : 25. Düzgünü 18 : (2·25) = 0,36-dır.