Tetraedrin qarşı tilləri arasındakı bucaq

1 · Əsas fikir

Orta xətlər paralel düz xətləri verir

Əsas fikir

Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq onlara paralel olan iki kəsişən düz xətt arasındakı bucaqdır. Adətən düz xətlərdən birini ona paralel olan və digərini kəsən düz xətlə əvəz edirik. Kəsişən iki düz xətt arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur: kor bucaq alınarsa, onun qonşu bucağı (180°-yə tamamlayanı) götürülür.

Üçbucağın orta xətti (8-ci sinif) iki tərəfin orta nöqtələrini birləşdirir, üçüncü tərəfə paraleldir və onun yarısına bərabərdir. Kosinuslar teoremi: c² = a² + b² − 2ab·cos γ.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqTetraedrin qarşı tilləri arasındakı bucaq

ABCD tetraedrində AC = 8 və BD = 6-dır. K, L və M nöqtələri uyğun olaraq AB, BC və CD tillərinin orta nöqtələridir və KM = √37 (şəkil).

AC və BD düz xətləri arasındakı bucağı tapın. Cavabı dərəcə ilə, yalnız ədədlə yazın və həllinizi əsaslandırın.

1. ABC üçbucağında KL orta xətdir: KL ∥ AC, KL = 8 : 2 = 4. BCD üçbucağında LM orta xətdir: LM ∥ BD, LM = 6 : 2 = 3.
2. KL və LM L nöqtəsində kəsişir və uyğun olaraq AC və BD-yə paraleldir. Deməli, AC və BD arasındakı bucaq KL və LM düz xətləri arasındakı bucaqdır.
3. KLM üçbucağında kosinuslar teoremi: KM² = KL² + LM² − 2·KL·LM·cos∠KLM, yəni 37 = 16 + 9 − 24·cos∠KLM, cos∠KLM = (25 − 37) : 24 = −1/2, ∠KLM = 120°.
4. ∠KLM kordur. Kəsişən düz xətlər arasındakı bucaq onun qonşu bucağıdır: 180° − 120° = 60°.
5. Cavab: 60°

ABCD tetraedri və tillərin orta nöqtələri

KL ∥ AC və MN ∥ AC (qırmızı), LM ∥ BD və NK ∥ BD (göy): KLMN paraleloqramdır. KLM üçbucağında L bucağı 120°-dir, AC və BD arasındakı bucaq 60°-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlayaq: bucaq 60° olsaydı və KLM üçbucağının L bucağı 60° olsaydı, KM² = 16 + 9 − 24·0,5 = 13 alınardı. Verilən 37 = 16 + 9 + 12-dir, yəni L bucağı 120°-dir — onun qonşusu 60°.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 30°cos∠KLM = −1/2 bərabərliyindən bucaq 30° kimi oxunub. −1/2 kosinusu 120°-yə uyğundur, düz xətlər arasındakı bucaq isə 180° − 120° = 60°-dir.
• 90°KLM üçbucağı düzbucaqlı sayılıb (tərəflər 3, 4, 5 kimi). Lakin KM = √37 ≠ 5: kosinuslar teoremi kor bucaq verir.
• 120°KLM üçbucağının L bucağı cavab kimi götürülüb. Düz xətlər arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur: 180° − 120° = 60°.
• 150°Kosinusu −1/2 olan bucaq 150° kimi götürülüb (cos 150° = −√3/2). Həm də düz xətlər arasındakı bucaq kor ola bilməz.