Kubun təpələrindən keçən müstəvilərin sayı

1 · Əsas fikir

Müstəviləri növlərə ayırıb saymaq

Əsas fikir

Aksiomlar (dərslikdən). 1) İxtiyari müstəvi üçün bu müstəviyə aid olan nöqtələr və ona aid olmayan nöqtələr var. 2) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişirlər. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.

Terminlər. Bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələr kollinear, eyni müstəvi üzərində yerləşən nöqtələr komplanar nöqtələrdir. Kollinear üç nöqtədən sonsuz sayda müstəvi keçir — onlar müstəvini müəyyən etmir.

Üçlükləri saymaq. n nöqtədən üçünü seçməyin yollarının sayı n·(n − 1)·(n − 2) : 6-dır: sıra ilə seçəndə n·(n − 1)·(n − 2) yol alınır, eyni üç nöqtə isə 3·2·1 = 6 müxtəlif sırada sayılır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKubun təpələrindən keçən müstəvilərin sayı

Kubun 8 təpəsi verilmişdir. Hər biri bu təpələrdən ən azı üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var? Cavabı ədədlə yazın.

1. Kubun heç üç təpəsi bir düz xətt üzərində deyil, ona görə hər üç təpədən bir müstəvi keçir (Aksiom 3). Bir müstəvi isə dörd təpədən də keçə bilər — onu bir dəfə saymaq lazımdır.
2. Dörd təpədən keçən müstəvilər: kubun 6 üzü və qarşı tillərdən keçən 6 diaqonal müstəvi (ABC₁D₁, A₁B₁CD, BCD₁A₁, B₁C₁DA, AA₁C₁C, BB₁D₁D). Kubun 12 tili 6 cüt qarşı til əmələ gətirir, hər cütdən bir müstəvi keçir. Cəmi 12 müstəvi.
3. Yalnız üç təpədən keçən müstəvilər: təpənin üç qonşusundan keçən müstəvi (məsələn, A-nın qonşuları A₁, B, D — A₁BD müstəvisi). Hər təpə üçün bir belə müstəvi var: 8 müstəvi.
4. Cəmi: 12 + 8 = 20.
5. Cavab: 20 müstəvi

Kubun təpələrindən keçən müstəvilərin iki növü

İki növ müstəvi: ABC₁D₁ diaqonal müstəvisi (qırmızı, dörd təpədən keçir) və A₁BD müstəvisi (göy, yalnız üç təpədən keçir).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Üçlüklərlə yoxlayaq: 8 təpədən 8·7·6 : 6 = 56 üçlük var. Dörd təpəli 12 müstəvinin hər biri 4 üçlük saxlayır: 12·4 = 48 üçlük. Qalan 56 − 48 = 8 üçlük — hər biri yalnız üç təpədən keçən ayrıca müstəvidir. Cəmi 12 + 8 = 20.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 12Üzlər (6) və diaqonal kəsiklər (6) sayılıb, yalnız üç təpədən keçən 8 müstəvi (A₁BD kimi) unudulub.
• 14Üzlər (6) və üç təpəli müstəvilər (8) sayılıb, qarşı tillərdən keçən 6 diaqonal müstəvi (ABC₁D₁ kimi) unudulub.
• 26Diaqonal müstəvilər hər til üçün bir dəfə sayılıb (12). Lakin hər diaqonal müstəvi iki qarşı tildən keçir, ona görə onlar 12 : 2 = 6-dır.
• 56Təpələrin hər üçlüyü ayrıca müstəvi sayılıb (8·7·6 : 6 = 56). Lakin dörd təpədən keçən müstəvidə 4 üçlük var və o, bir dəfə sayılmalıdır.