Düzgün üçbucağın mərkəzindən perpendikulyar

1 · Əsas fikir

Düzgün üçbucaqda mərkəz və tərəflər

Əsas fikir

Üç perpendikulyar teoremi. «Müstəvi üzərində mailin oturacağından keçirilmiş düz xətt onun proyeksiyasına perpendikulyardırsa, mailin özünə də perpendikulyardır.» Qısa yazılış: a ⊥ BC və BC ⊥ BA olarsa, a ⊥ AC (AB — perpendikulyar, AC — mail, BC — proyeksiya).

Tərəflərdən bərabər məsafə. M nöqtəsindən tərəflərə çəkilmiş perpendikulyarlar bərabərdirsə, onların proyeksiyaları (O-dan tərəflərə perpendikulyarlar) da bərabərdir. Deməli O tərəflərdən bərabər uzaqlıqdadır — fiqurun daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir və bu proyeksiyalar radiusa bərabərdir: OK = r.

Tərəfi a olan düzgün üçbucaqda hündürlük h = a√3 : 2, daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu r = h : 3 = a√3 : 6.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqDüzgün üçbucağın mərkəzindən perpendikulyar

Düzgün ABC üçbucağının tərəfi 12 sm-dir. Üçbucağın O mərkəzindən onun müstəvisinə uzunluğu 2 sm olan OM perpendikulyarı qaldırılmışdır.

M nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə qədər məsafəni tapın. Cavabı ədədlə yazın (santimetrlə).

1. Düzgün üçbucağın mərkəzi O həm də daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. K — AB-nin ortası, CK — median və hündürlük: CK = 12√3 : 2 = 6√3 sm.
2. O medianları 2 : 1 nisbətində bölür, ona görə OK = 6√3 : 3 = 2√3 sm (= r) və OK ⊥ AB.
3. MO ⊥ müstəvi, MK — mail, OK — onun proyeksiyası; OK ⊥ AB olduğundan teoremə görə MK ⊥ AB.
4. MOK düzbucaqlı üçbucağından: MK = √2² + (2√3)² = √4 + 12 = 4 sm. Simmetriyaya görə digər tərəflərə məsafə də 4 sm-dir.
5. Cavab: 4 sm

Düzgün üçbucaq və MO perpendikulyarı

OK — daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu, OK ⊥ AB olduğundan MK ⊥ AB.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: r = a√3 : 6 = 12√3 : 6 = 2√3, r² = 12; 2² + 12 = 16 = 4².

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2√13 smO-dan tərəfə məsafə kimi xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu R = 4√3 götürülüb: √2² + 48. Bu, M-dən təpəyə məsafədir; tərəfə məsafə üçün daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu r lazımdır.
• 4√7 smO-dan tərəfə məsafə kimi bütöv hündürlük 6√3 götürülüb: √2² + 108. O mərkəz olduğu üçün tərəfə məsafə hündürlüyün üçdə biridir.
• 2√10 smO-dan tərəfə məsafə kimi tərəfin yarısı (6) götürülüb: √2² + 6². O-dan tərəfə məsafə r = 2√3-dür.
• 2 + 2√3 smUzunluqlar toplanıb: MO + OK. MOK düzbucaqlı üçbucaqdır, MK Pifaqor teoremi ilə tapılır.