Kubda diaqonala perpendikulyar düz xətt

1 · Əsas fikir

Kubda üç perpendikulyar

Əsas fikir

Üç perpendikulyar teoremi. «Müstəvi üzərində mailin oturacağından keçirilmiş düz xətt onun proyeksiyasına perpendikulyardırsa, mailin özünə də perpendikulyardır.» Qısa yazılış: a ⊥ BC və BC ⊥ BA olarsa, a ⊥ AC (AB — perpendikulyar, AC — mail, BC — proyeksiya).

Niyə doğrudur. Müstəvidəki düz xətt həm proyeksiyaya, həm də perpendikulyara (o, müstəvidəki hər düz xəttə perpendikulyardır) perpendikulyardırsa, perpendikulyarla proyeksiyanın təyin etdiyi müstəviyə perpendikulyardır, deməli bu müstəvidəki maile də perpendikulyardır — dərslikdəki isbat belədir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKubda diaqonala perpendikulyar düz xətt

ABCDA₁B₁C₁D₁ kubunda A₁C diaqonalı çəkilmişdir (şəkil).

Aşağıdakı düz xətlərdən hansı A₁C diaqonalına perpendikulyardır?

1. AA₁ ⊥ (ABCD), ona görə A₁C — alt üzün müstəvisinə mail, AC — onun proyeksiyasıdır.
2. BD alt üzdədir və BD ⊥ AC (kvadratın diaqonalları perpendikulyardır).
3. Teoremin isbatındakı kimi: BD ⊥ AC və BD ⊥ AA₁ (AA₁ alt üzdəki hər düz xəttə perpendikulyardır), deməli BD AA₁C₁C müstəvisinə perpendikulyardır və bu müstəvidəki A₁C-yə də perpendikulyardır.
4. Deməli A₁C ⊥ BD (bu düz xətlər çarpazdır, aralarındakı bucaq 90°-dir).
5. Cavab: BD

Kub ABCDA₁B₁C₁D₁

AC — A₁C-nin alt üzdəki proyeksiyası; BD ⊥ AC olduğundan BD ⊥ A₁C.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Başqa yolla: C-dən BD-yə paralel düz xətt çəkək; o, AC-yə perpendikulyardır və mailin oturacağı C-dən keçir, teoremə görə A₁C-yə perpendikulyardır. Çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq onlara paralel kəsişən düz xətlər arasındakı bucağa bərabərdir — 90°.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• ACAC — A₁C-nin alt üzdəki proyeksiyasıdır. A₁AC düzbucaqlı üçbucağında ∠A₁CA itidir (mail proyeksiyası ilə iti bucaq əmələ gətirir), 90° deyil.
• BCTərs teoremə görə BC A₁C-yə perpendikulyar olsaydı, proyeksiya AC-yə də perpendikulyar olardı. Lakin ∠ACB = 45°, ona görə BC A₁C-yə perpendikulyar deyil.
• CC₁CC₁ və A₁C eyni AA₁C₁C müstəvisindədir və C-də kəsişir; A₁CC₁ düzbucaqlı üçbucağında düz bucaq C₁-dədir, ∠A₁CC₁ itidir.
• A₁BA₁B və A₁C A₁-də kəsişir. A₁BC üçbucağında düz bucaq B-dədir (BC ⊥ A₁B), ona görə ∠BA₁C itidir.