Həyətdəki fənər və hasarlar

1 · Əsas fikir

Fənərdən hasar xəttinə ən qısa məsafə

Əsas fikir

Üç perpendikulyar teoremi. «Müstəvi üzərində mailin oturacağından keçirilmiş düz xətt onun proyeksiyasına perpendikulyardırsa, mailin özünə də perpendikulyardır.» Qısa yazılış: a ⊥ BC və BC ⊥ BA olarsa, a ⊥ AC (AB — perpendikulyar, AC — mail, BC — proyeksiya).

Nöqtədən düz xəttə məsafə. Bu, nöqtədən həmin düz xəttə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur. Müstəvidən kənardakı M nöqtəsindən müstəvidəki a düz xəttinə məsafəni tapmaq üçün MO ⊥ α perpendikulyarının oturacağı O-dan a-ya OK ⊥ a çəkilir; teoremə görə MK ⊥ a olur və MOK düzbucaqlı üçbucağından MK = √MO² + OK².

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqHəyətdəki fənər və hasarlar

Düzbucaqlı formalı ABCD həyətinin ölçüləri AB = 8 m və AD = 4,5 m-dir. Həyətin A küncündə şaquli dirək var, dirəyin ucunda yerdən 6 m hündürlükdə fənər asılıb. Həyətin BC və CD tərəfləri boyunca düz hasarlar çəkilib.

Fənərdən BC hasarının xəttinə və CD hasarının xəttinə qədər ən qısa məsafələrin fərqini tapın. Cavabınızı əsaslandırın və cavabı ədədlə yazın (metrlə).

1. Dirək şaquli olduğu üçün AL yer müstəvisinə perpendikulyardır: LB və LD — maillər, AB və AD — onların proyeksiyalarıdır.
2. BC ⊥ AB (düzbucaqlının tərəfləri) və BC proyeksiyanın ucu B-dən keçir. Üç perpendikulyar teoreminə görə BC ⊥ LB, ona görə fənərdən BC xəttinə ən qısa məsafə LB-dir.
3. LB = √6² + 8² = √100 = 10 m.
4. Eyni qayda ilə CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ LD, fənərdən CD xəttinə ən qısa məsafə LD = √6² + 4,5² = √56,25 = 7,5 m.
5. Fərq: 10 − 7,5 = 2,5 m.
6. Cavab: 2,5 m

Həyət və fənər

LB ⊥ BC və LD ⊥ CD: fənərdən hasar xətlərinə ən qısa məsafələr LB və LD-dir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yoxlama: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²; 6² + 4,5² = 36 + 20,25 = 56,25 = 7,5². Hasarın başqa nöqtəsinə məsafə, məsələn C-yə, √(36 + 64 + 20,25) ≈ 10,97 m — hər iki ən qısa məsafədən böyükdür.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 3,5 mFərq AB − AD = 8 − 4,5 kimi tapılıb — yəni dirəyin dibindən olan məsafələr müqayisə edilib, fənərin hündürlüyü nəzərə alınmayıb. Fənər 6 m yuxarıdadır, məsafələr LB = 10 m və LD = 7,5 m-dir.
• 17,5 mMəsafələr toplanıb: 10 + 7,5. Sual onların fərqini soruşur.
• 1,5 mFərq AL − AD = 6 − 4,5 kimi tapılıb — bu uzunluqların fərqi heç bir məsafə vermir. Hər məsafə AL və müvafiq tərəfdən Pifaqor teoremi ilə alınır.
• 4 mBu, LB − AL = 10 − 6-dır: BC-yə məsafə düzgün tapılıb, amma CD-yə məsafə kimi dirəyin hündürlüyü götürülüb. Fənərdən CD xəttinə məsafə LD = 7,5 m-dir.