ABCD düzbucaqlısının A təpəsindən onun müstəvisinə MA perpendikulyarı qaldırılmışdır. M nöqtəsindən BC düz xəttinə qədər məsafə 13 sm, CD düz xəttinə qədər məsafə 15 sm, düzbucaqlının perimetri isə 28 sm-dir.
MA perpendikulyarının uzunluğunu tapın. Cavabınızı əsaslandırın və cavabı ədədlə yazın (santimetrlə).
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
İki məsafə, iki teorem
Əsas fikir
Üç perpendikulyar teoremi. «Müstəvi üzərində mailin oturacağından keçirilmiş düz xətt onun proyeksiyasına perpendikulyardırsa, mailin özünə də perpendikulyardır.» Qısa yazılış: a ⊥ BC və BC ⊥ BA olarsa, a ⊥ AC (AB — perpendikulyar, AC — mail, BC — proyeksiya).
Nöqtədən düz xəttə məsafə. Bu, nöqtədən həmin düz xəttə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur. Müstəvidən kənardakı M nöqtəsindən müstəvidəki a düz xəttinə məsafəni tapmaq üçün MO ⊥ α perpendikulyarının oturacağı O-dan a-ya OK ⊥ a çəkilir; teoremə görə MK ⊥ a olur və MOK düzbucaqlı üçbucağından MK = √MO² + OK².
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqMəsafələrə görə perpendikulyarın uzunluğu
ABCD düzbucaqlısının A təpəsindən onun müstəvisinə MA perpendikulyarı qaldırılmışdır. M nöqtəsindən BC düz xəttinə qədər məsafə 13 sm, CD düz xəttinə qədər məsafə 15 sm, düzbucaqlının perimetri isə 28 sm-dir.
MA perpendikulyarının uzunluğunu tapın. Cavabınızı əsaslandırın və cavabı ədədlə yazın (santimetrlə).
- AB = a, AD = b, MA = h işarə edək. MA ⊥ müstəvi, ona görə MB və MD — maillər, AB və AD — onların proyeksiyalarıdır.
- BC ⊥ AB (düzbucaqlı), teoremə görə BC ⊥ MB: M-dən BC-yə məsafə MB-dir, h² + a² = 13² = 169. Eyni qayda ilə CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ MD: h² + b² = 15² = 225.
- Perimetrdən: a + b = 14. Bərabərlikləri çıxaq: b² − a² = 56, yəni (b − a)(b + a) = 56, buradan b − a = 56 : 14 = 4.
- Deməli b = 9, a = 5.
- h = √169 − 5² = √144 = 12 sm.
- Cavab: 12 sm
Düzbucaqlı və MA perpendikulyarı
MB ⊥ BC və MD ⊥ DC: verilən məsafələr MB və MD-dir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: √(12² + 5²) = √169 = 13 və √(12² + 9²) = √225 = 15 — hər iki məsafə uyğun gəlir; perimetr 2 · (5 + 9) = 28.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 2√14 sm√15² − 13² hesablanıb, sanki MA, MB və MD bir düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir. Əslində MB² = h² + AB² və MD² = h² + AD²; onların fərqi AD² − AB²-dır, h² deyil.
- 9 smBu, AD tərəfinin uzunluğudur (sistemin həllindən b = 9). Soruşulan perpendikulyarın uzunluğudur.
- 5 smBu, AB tərəfinin uzunluğudur (a = 5). MA = √(13² − 5²) son addımı atlanıb.
- 4 smBu, AD − AB fərqidir — sistemin aralıq nəticəsi. Ondan sonra tərəflər və MA tapılmalıdır.