Mərkəzi koordinat başlanğıcında olmayan homotetiya

1 · Əsas fikir

Mərkəzdən ölçülən yerdəyişmələr k dəfə dəyişir

Əsas fikir

Homotetiya. Dərslik: «Tutaq ki, O verilmiş nöqtə, k > 0 verilmiş ədəddir. Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari A nöqtəsi və onun çevrildiyi A₁ nöqtəsi üçün OA₁ = k · OA olarsa, bu çevrilməyə homotetiya deyilir. Burada O, A və A₁ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.» O — homotetiya mərkəzi, k — homotetiya əmsalıdır. «Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir.»

Mərkəz O(a; b) olduqda. O‑dan A(x; y) nöqtəsinə üfüqi yerdəyişmə x − a, şaquli yerdəyişmə y − b-dir. A₁ eyni düz xətt üzərində və OA₁ = k · OA olduğundan (təpəsi O olan oxşar düzbucaqlı üçbucaqlar) hər iki yerdəyişmə k dəfə dəyişir: x₁ = a + k(x − a), y₁ = b + k(y − b). a = b = 0 olanda bu, dərslikdəki A₁(kx; ky) qaydasıdır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqMərkəzi koordinat başlanğıcında olmayan homotetiya

Mərkəzi O(2; 1) nöqtəsində və əmsalı k = 3 olan homotetiyada A(4; −1) nöqtəsi hansı nöqtəyə çevrilir? Cavabı (x; y) şəklində yazın.

1. O(2; 1)‑dən A(4; −1)‑ə: üfüqi 4 − 2 = 2 (sağa), şaquli −1 − 1 = −2 (2 vahid aşağı).
2. k = 3: O‑dan A₁‑ə yerdəyişmələr 3 · 2 = 6 (sağa) və 3 · (−2) = −6 (aşağı).
3. A₁ = (2 + 6; 1 − 6) = (8; −5).
4. Cavab: A₁(8; −5)

O(2; 1) mərkəzli, k = 3 homotetiya: A(4; −1) nöqtəsi A₁(8; −5) nöqtəsinə çevrilir

O‑dan A‑ya 2 sağa, 2 aşağı; O‑dan A₁‑ə 3 dəfə çox — 6 sağa, 6 aşağı: A₁(8; −5).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

O, A, A₁ bir düz xətt üzərindədir: O‑dan A‑ya (2; −2), O‑dan A₁‑ə (6; −6) — eyni istiqamət, 3 dəfə uzun ✓. A₁ A‑dan o tərəfdədir, çünki k > 1 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (12; −3)Koordinat başlanğıcı mərkəzli homotetiyanın (kx; ky) qaydası tətbiq olunub. Mərkəz O(2; 1) olduğundan 3‑ə O‑dan A‑ya qədər yerdəyişmələr vurulur.
• (10; −7)O‑dan A‑ya yerdəyişmə üç dəfə A‑dan sonra əlavə olunub (AA₁ = 3 · OA). Tərifə görə OA₁ = 3 · OA, yəni AA₁ = 2 · OA.
• (−4; 7)A₁ mərkəzin o biri tərəfinə qoyulub (k = −3 kimi). k = 3 > 0 olduqda A₁ OA şüası üzərindədir.
• (14; −2)A‑nın koordinatları 3‑ə vurulub, sonra O‑nun koordinatları əlavə olunub. Düzgün hesab: x₁ = 2 + 3 · (4 − 2), y₁ = 1 + 3 · (−1 − 1).