İki nöqtə cütünə görə homotetiyanın mərkəzi

1 · Əsas fikir

İki nöqtənin obrazları əmsalı, sonra mərkəzi verir

Əsas fikir

Homotetiya. Dərslik: «Tutaq ki, O verilmiş nöqtə, k > 0 verilmiş ədəddir. Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari A nöqtəsi və onun çevrildiyi A₁ nöqtəsi üçün OA₁ = k · OA olarsa, bu çevrilməyə homotetiya deyilir. Burada O, A və A₁ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.» O — homotetiya mərkəzi, k — homotetiya əmsalıdır. «Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir.»

Mənfi əmsal. Dərslik: «k < 0 olduqda da homotetiyaya baxmaq olar. Bu halda A və A₁ nöqtələri homotetiya mərkəzindən müxtəlif tərəflərdə yerləşərlər.» Onda OA₁ = |k| · OA, oxşarlıq əmsalı isə |k|-dır.

Mərkəz O(a; b) olduqda. O‑dan A(x; y) nöqtəsinə üfüqi yerdəyişmə x − a, şaquli yerdəyişmə y − b-dir. A₁ eyni düz xətt üzərində və OA₁ = k · OA olduğundan (təpəsi O olan oxşar düzbucaqlı üçbucaqlar) hər iki yerdəyişmə k dəfə dəyişir: x₁ = a + k(x − a), y₁ = b + k(y − b). a = b = 0 olanda bu, dərslikdəki A₁(kx; ky) qaydasıdır.

Parçanın obrazı. İki nöqtə üçün yazılan bərabərlikləri çıxsaq, mərkəzin koordinatları ixtisar olunur: xB₁ − xA₁ = k(xB − xA), eləcə də y üçün. Deməli, A‑dan B‑yə yerdəyişmə k dəfə dəyişir: k > 0 olduqda istiqamət eyni qalır, k < 0 olduqda əksinə dönür.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki nöqtə cütünə görə homotetiyanın mərkəzi

Homotetiya A(2; 3) nöqtəsini A₁(4; 5) nöqtəsinə, B(3; 1) nöqtəsini B₁(7; −1) nöqtəsinə çevirir (şəkil). Homotetiyanın mərkəzini tapın. Cavabı (x; y) şəklində yazın və həllinizi əsaslandırın.

1. A‑dan B‑yə yerdəyişmə: (3 − 2; 1 − 3) = (1; −2). A₁‑dən B₁‑ə: (7 − 4; −1 − 5) = (3; −6) = 3 · (1; −2). Deməli, k = 3 (istiqamət eynidir, k > 0).
2. Mərkəz O(a; b): 4 = a + 3(2 − a) → 4 = 6 − 2a → a = 1.
3. 5 = b + 3(3 − b) → 5 = 9 − 2b → b = 2.
4. Mərkəz O(1; 2).
5. Cavab: O(1; 2)

Koordinat müstəvisində A(2; 3), A₁(4; 5), B(3; 1), B₁(7; −1) nöqtələri

k = 3 > 0: AB və A₁B₁ eyni istiqamətdədir; mərkəz O(1; 2) AA₁ və BB₁ düz xətlərinin kəsişməsidir, OA₁ = 3 · OA.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

B nöqtəsi ilə: x = 1 + 3 · (3 − 1) = 7, y = 2 + 3 · (1 − 2) = −1 → B₁(7; −1) ✓. O, A, A₁ bir düz xətt üzərindədir: O‑dan A‑ya (1; 1), O‑dan A₁‑ə (3; 3) ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• (2,5; 3,5)Əmsal −3 götürülüb və mərkəz AA₁ parçasının daxilində axtarılıb. A‑dan B‑yə və A₁‑dən B₁‑ə yerdəyişmələr eyni istiqamətdədir, ona görə k > 0 və mərkəz AA₁ parçasından kənardadır.
• (3; 4)AA₁ parçasının ortası götürülüb. Orta nöqtə yalnız k = −1 olduqda mərkəz olur; burada k = 3.
• (0; 1)OA = AA₁ götürülüb (bu, k = 2 olardı). k = 3 olduqda OA₁ = 3 · OA, yəni AA₁ = 2 · OA.
• (6; 7)Mərkəz A₁‑dən o tərəfə qoyulub. k > 1 olduqda obraz mərkəzdən daha uzaqdadır: mərkəz A tərəfindədir.