Koordinatlarla homotetik üçbucağın sahəsi

1 · Əsas fikir

Sahə k² dəfə dəyişir, işarədən asılı deyil

Əsas fikir

Homotetiya. Dərslik: «Tutaq ki, O verilmiş nöqtə, k > 0 verilmiş ədəddir. Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari A nöqtəsi və onun çevrildiyi A₁ nöqtəsi üçün OA₁ = k · OA olarsa, bu çevrilməyə homotetiya deyilir. Burada O, A və A₁ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.» O — homotetiya mərkəzi, k — homotetiya əmsalıdır. «Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir.»

Mənfi əmsal. Dərslik: «k < 0 olduqda da homotetiyaya baxmaq olar. Bu halda A və A₁ nöqtələri homotetiya mərkəzindən müxtəlif tərəflərdə yerləşərlər.» Onda OA₁ = |k| · OA, oxşarlıq əmsalı isə |k|-dır.

Koordinatlarla. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan k əmsallı homotetiyada A(x; y) nöqtəsi A₁(kx; ky) nöqtəsinə çevrilir (dərslik, tapşırıq 5; səbəbi — üçbucaqların oxşarlığı).

Uzunluq və sahə. Homotetik fiqurlar oxşardır, oxşarlıq əmsalı |k|-dır: hər parça və perimetr |k| dəfə, sahə isə k² dəfə dəyişir (oxşar fiqurların sahələri nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKoordinatlarla homotetik üçbucağın sahəsi

Təpələri A(1; 1), B(4; 2), C(2; 4) olan ABC üçbucağı (şəkil) mərkəzi koordinat başlanğıcında və əmsalı k = −2 olan homotetiya ilə A₁B₁C₁ üçbucağına çevrilir. A₁B₁C₁ üçbucağının sahəsini kvadrat vahidlə tapın. Həllinizi əsaslandırın.

1. ABC-ni əhatə edən düzbucaqlı: x 1‑dən 4‑ə, y 1‑dən 4‑ə — 3 × 3 kvadrat, sahəsi 9.
2. Kvadratdan üç düzbucaqlı üçbucaq çıxılır: AB tərəfi boyunca (katetlər 3 və 1) 1,5; BC boyunca (2 və 2) 2; CA boyunca (1 və 3) 1,5. SABC = 9 − 1,5 − 2 − 1,5 = 4.
3. Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir, |k| = 2: sahə k² = 4 dəfə dəyişir.
4. SA₁B₁C₁ = 4 · 4 = 16 kvadrat vahid.
5. Cavab: S = 16

ABC üçbucağı (sahəsi 4) və onun k = −2 homotetik obrazı A₁B₁C₁ (sahəsi 16)

S(ABC) = 9 − 5 = 4; k = −2: A₁(−2; −2), B₁(−8; −4), C₁(−4; −8), S(A₁B₁C₁) = 36 − 20 = 16 = 4 · 2².

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Obrazın təpələri (kx; ky): A₁(−2; −2), B₁(−8; −4), C₁(−4; −8). Əhatə edən 6 × 6 kvadrat (36) − 6 − 8 − 6 = 16 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 8Sahə |k| = 2‑yə vurulub. Uzunluqlar 2 dəfə, sahə 2² = 4 dəfə artır: 4 · 4 = 16.
• 4Bu, ABC-nin öz sahəsidir. |k| ≠ 1 olduqda homotetiya sahəni dəyişir.
• 18ABC-nin sahəsi onu əhatə edən 3 × 3 kvadratın yarısı (4,5) götürülüb. Kvadratdan üç düzbucaqlı üçbucaq çıxılmalıdır: 9 − 1,5 − 2 − 1,5 = 4.
• 36Əhatə edən kvadratın sahəsi (9) üçbucağın sahəsi kimi götürülüb: 9 · 4 = 36. Bu, A₁B₁C₁-i əhatə edən 6 × 6 kvadratın sahəsidir.