Dəyişənin istənilən qiymətində müsbət olan ifadə

1 · Əsas fikir

Kvadrat mənfi deyil

Əsas fikir

İstənilən ədədin kvadratı mənfi deyil: (a − 1)2 ≥ 0. Kvadrat sıfra yalnız mötərizədəki ifadə sıfır olanda bərabərdir. Dərslikdəki nümunə: a2 + 1 − 2a = (a − 1)2 ≥ 0, deməli dəyişənin istənilən qiymətində a2 + 1 ≥ 2a.

Tərəflərin fərqini tam kvadrat (və ya kvadratlar cəmi) şəklində yazmaq bərabərsizliyi dəyişənin bütün qiymətləri üçün isbat edir; bir neçə qiymətdə yoxlamaq isə isbat deyil.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqDəyişənin istənilən qiymətində müsbət olan ifadə

x‑in istənilən qiymətində müsbət olan ifadəni göstərin.

1. Hər ifadədə tam kvadrat ayırırıq: x2 − 6x + 10 = (x2 − 6x + 9) + 1 = (x − 3)2 + 1.
2. (x − 3)2 ≥ 0 olduğundan (x − 3)2 + 1 ≥ 1 > 0 — ifadə x‑in istənilən qiymətində müsbətdir.
3. Digər ifadələr üçün ifadəni sıfır və ya mənfi edən qiymət tapılır (aşağıda) — onlar «həmişə müsbət» deyil.
4. Cavab: x² − 6x + 10

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 3: 9 − 18 + 10 = 1 > 0 ✓ (ən kiçik qiymət); x = 0: 10 ✓; x = −2: 4 + 12 + 10 = 26 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• x² − 6x + 9x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 ≥ 0 — mənfi deyil, amma x = 3 olanda sıfırdır. «Mənfi deyil» ilə «müsbətdir» eyni deyil.
• x² + 6x + 8x2 + 6x + 8 = (x + 3)2 − 1. x = −3 olanda −1 < 0 — əks-misal.
• 6x − x² − 106x − x2 − 10 = −((x − 3)2 + 1) — həmişə mənfidir. Məsələn, x = 0: −10.
• x² − 10x = 0 olanda −10 < 0 — əks-misal. x2 ≥ 0, amma ondan 10 çıxanda nəticə mənfi ola bilər.