İki dəyişənli bərabərsizliyin isbatı

1 · Əsas fikir

Fərqi kvadratların cəmi kimi yazırıq

Əsas fikir

İstənilən ədədin kvadratı mənfi deyil: (a − 1)2 ≥ 0. Kvadrat sıfra yalnız mötərizədəki ifadə sıfır olanda bərabərdir. Dərslikdəki nümunə: a2 + 1 − 2a = (a − 1)2 ≥ 0, deməli dəyişənin istənilən qiymətində a2 + 1 ≥ 2a.

Tərəflərin fərqini tam kvadrat (və ya kvadratlar cəmi) şəklində yazmaq bərabərsizliyi dəyişənin bütün qiymətləri üçün isbat edir; bir neçə qiymətdə yoxlamaq isə isbat deyil.

Kvadratların cəmi (a − p)2 + (b − q)2 ≥ 0 və sıfra yalnız a = p, b = q olanda bərabərdir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki dəyişənli bərabərsizliyin isbatı

Bərabərsizliyin a və b-nin istənilən qiymətində doğru olduğunu isbat edin və bərabərliyin hansı a və b qiymətlərində ödəndiyini müəyyənləşdirin:

a² + b² + 5 ≥ 4a − 2b

1. Sol tərəfdən sağ tərəfi çıxırıq: a2 + b2 + 5 − (4a − 2b) = a2 − 4a + b2 + 2b + 5.
2. 5‑i 4 + 1 kimi yazıb qruplaşdırırıq: (a2 − 4a + 4) + (b2 + 2b + 1) = (a − 2)2 + (b + 1)2.
3. Hər kvadrat mənfi deyil, ona görə cəm də mənfi deyil: (a − 2)2 + (b + 1)2 ≥ 0. Deməli a2 + b2 + 5 ≥ 4a − 2b istənilən a, b‑də doğrudur.
4. Bərabərlik: cəm sıfırdır ⇔ hər iki kvadrat sıfırdır ⇔ a − 2 = 0 və b + 1 = 0, yəni a = 2, b = −1.
5. Cavab: Doğrudur; bərabərlik yalnız a = 2, b = −1 olduqda

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = 2, b = −1: sol 4 + 1 + 5 = 10, sağ 8 + 2 = 10 ✓ (bərabərlik). a = 0, b = 0: 5 ≥ 0 ✓. a = 3, b = 2: 18 ≥ 8 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• Bərabərsizlik a və b-nin istənilən qiymətində doğrudur; bərabərlik yalnız a = −2, b = 1 olduqda ödənirKvadratların işarəsi səhv oxunub: (a − 2)2 sıfır olur a = 2‑də, (b + 1)2 isə b = −1‑də. Yoxlama: a = −2, b = 1: 4 + 1 + 5 = 10, sağ tərəf −8 − 2 = −10, bərabər deyil.
• Bərabərsizlik ciddi ödənir: tərəflər heç vaxt bərabər olmurKvadratların cəmi sıfır ola bilər: a = 2, b = −1 olanda sol tərəf 4 + 1 + 5 = 10, sağ tərəf 8 + 2 = 10.
• Bərabərsizlik yalnız a ≥ 0 və b ≥ 0 olduqda doğrudurFərq (a − 2)2 + (b + 1)2 kimi yazılır və a, b-nin işarəsindən asılı olmayaraq mənfi deyil. Məsələn, a = −1, b = −3: 15 ≥ 2 ✓.
• a = 2, b = −1 olduqda bərabərsizlik doğru deyil, çünki tərəflər bərabər olurQeyri-ciddi ≥ işarəsi bərabərlik halını daxil edir: 10 ≥ 10 doğrudur. Bu iddia ciddi və qeyri-ciddi işarəni qarışdırır.