Bərabərsizliklərin hədbəhəd toplanması

1 · Əsas fikir

Hədbəhəd toplama

Əsas fikir

Dərslik: «Teorem. a > b və c > d olarsa, a + c > b + d». İsbatı: a > b bərabərsizliyinin hər iki tərəfinə c əlavə edək — a + c > b + c; c > d bərabərsizliyinin hər iki tərəfinə b əlavə edək — b + c > b + d. Bu iki bərabərsizlikdən a + c > b + d alınır.

Eyni işarəli doğru bərabərsizlikləri hədbəhəd toplamaq olar; ikidən çox bərabərsizlik üçün də. Hədbəhəd çıxmaq isə olmaz.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqBərabərsizliklərin hədbəhəd toplanması

x, y, m və n ədədləri üçün x > y və m > n olduğu məlumdur. Aşağıdakı bərabərsizliklərdən hansı bu şərtləri ödəyən istənilən ədədlər üçün doğrudur?

1. Hər iki bərabərsizlik eyni işarəlidir (>): x > y və m > n.
2. Teoremə görə onları hədbəhəd toplamaq olar: sol tərəflər toplanır (x + m), sağ tərəflər toplanır (y + n).
3. Alınır: x + m > y + n — x, y, m, n‑in şərtləri ödəyən bütün qiymətlərində doğrudur.
4. Cavab: x + m > y + n

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 3, y = 1, m = −2, n = −5: x + m = 1, y + n = −4 və 1 > −4 ✓. Mənfi ədədlər olanda da toplama işləyir — vurma isə işləməyə bilər (aşağıda).

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• x − m > y − nBərabərsizlikləri hədbəhəd çıxmaq olmaz. Əks-misal: x = 5, y = 4, m = 10, n = 0 — şərtlər ödənir, amma 5 − 10 = −5, 4 − 0 = 4 və −5 > 4 doğru deyil.
• xm > ynHədbəhəd vurmaq yalnız bütün tərəflər müsbət olanda olar. Əks-misal: x = −1, y = −2, m = −1, n = −3 — şərtlər ödənir, amma xm = 1, yn = 6 və 1 > 6 doğru deyil.
• x + n > y + mTərəflər qarışdırılıb: hər bərabərsizliyin böyük tərəfi (x və m) bir tərəfdə, kiçik tərəfi (y və n) o biri tərəfdə toplanmalıdır. Əks-misal: x = 1, y = 0, m = 5, n = 0 — 1 > 5 doğru deyil.
• m − x > n − yBu da hədbəhəd çıxmadır. Əks-misal: x = 10, y = 0, m = 1, n = 0 — 1 − 10 = −9 və −9 > 0 doğru deyil.