ABCD qabarıq dördbucaqlısının perimetri P-dir, AC və BD onun diaqonallarıdır. Diaqonalların cəmi AC + BD ilə yarımperimetr P/2 arasında hansı münasibət istənilən qabarıq dördbucaqlı üçün doğrudur? Cavabınızı əsaslandırın: diaqonalların kəsişmə nöqtəsini O ilə işarə edin və alınan üçbucaqlar üçün üçbucaq bərabərsizliklərini hədbəhəd toplayın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Üçbucaq bərabərsizliklərini toplayırıq
Əsas fikir
Dərslik: «Teorem. a > b və c > d olarsa, a + c > b + d». İsbatı: a > b bərabərsizliyinin hər iki tərəfinə c əlavə edək — a + c > b + c; c > d bərabərsizliyinin hər iki tərəfinə b əlavə edək — b + c > b + d. Bu iki bərabərsizlikdən a + c > b + d alınır.
Eyni işarəli doğru bərabərsizlikləri hədbəhəd toplamaq olar; ikidən çox bərabərsizlik üçün də. Hədbəhəd çıxmaq isə olmaz.
Üçbucaq bərabərsizliyi: üçbucağın istənilən iki tərəfinin cəmi üçüncü tərəfdən böyükdür.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqDördbucaqlının diaqonalları və yarımperimetri
ABCD qabarıq dördbucaqlısının perimetri P‑dir, AC və BD onun diaqonallarıdır. Diaqonalların cəmi AC + BD ilə yarımperimetr P/2 arasında hansı münasibət istənilən qabarıq dördbucaqlı üçün doğrudur? Cavabınızı əsaslandırın: diaqonalların kəsişmə nöqtəsini O ilə işarə edin və alınan üçbucaqlar üçün üçbucaq bərabərsizliklərini hədbəhəd toplayın.
- Diaqonallar qabarıq dördbucaqlının daxilində O nöqtəsində kəsişir və onu dörd üçbucağa bölür: AOB, BOC, COD, DOA.
- Hər üçbucaq üçün: AO + OB > AB, BO + OC > BC, CO + OD > CD, DO + OA > DA.
- Dörd eyni işarəli bərabərsizliyi hədbəhəd toplayırıq: 2(AO + OC) + 2(BO + OD) > AB + BC + CD + DA.
- AO + OC = AC, BO + OD = BD. Deməli 2(AC + BD) > P, yəni AC + BD > P/2.
- Cavab: AC + BD > P/2
Qabarıq ABCD dördbucaqlısı; AC və BD diaqonalları O nöqtəsində kəsişir və dördbucaqlını dörd üçbucağa bölür: AOB, BOC, COD, DOA
Diaqonallar dördbucaqlını dörd üçbucağa bölür. Hər üçbucaqda iki «yarım diaqonalın» cəmi dördbucaqlının bir tərəfindən böyükdür; dörd bərabərsizlik toplananda hər diaqonal iki dəfə sayılır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Kvadrat (tərəf 1): AC + BD = 2√2 ≈ 2,83, P/2 = 2 ✓. Uzun düzbucaqlı 10 × 1: AC + BD = 2√101 ≈ 20,1, P/2 = 11 ✓. Romb (diaqonallar 6 və 8, tərəf 5): 14 > 10 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- AC + BD < P/2Hər üçbucaqda iki tərəfin cəmi üçüncüdən böyükdür, kiçik deyil: AO + OB > AB və s. Toplananda diaqonallar tərəfdən böyük alınır. Məsələn, kvadratda AC + BD ≈ 2,83 · tərəf, P/2 = 2 · tərəf.
- AC + BD = P/2Bərabərlik üçün üçbucaqlar «yastı» olmalı idi (O nöqtəsi tərəfin üzərində). Qabarıq dördbucaqlıda O daxili nöqtədir və bərabərsizliklər ciddidir.
- AC + BD > PKvadratda AC + BD ≈ 2,83 · tərəf, P = 4 · tərəf — doğru deyil. Əslində ABC, ADC, ABD, BCD üçbucaqlarından AC + BD < P alınır.
- Münasibət dördbucaqlının formasından asılıdırİsbat istənilən qabarıq dördbucaqlı üçün eyni addımlarla aparılır və forma ondan asılı olmayan nəticə verir.