Kvadratları ixtisar olunan bərabərsizlik

1 · Əsas fikir

Əvvəl sadələşdirmə, sonra xətti bərabərsizlik

Əsas fikir

Qısa vurma düsturu: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Mötərizə qarşısındakı minus hasilin bütün hədlərinin işarəsini dəyişir. Sadələşdirmədən sonra x2 hədləri ixtisar olunarsa, bərabərsizlik xətti olur (dərslik №7: x(x − 3) > x² − 6x + 1,2).

Dərslik: «Birdəyişənli bərabərsizliyin həlli dəyişənin həmin bərabərsizliyi doğru ədədi bərabərsizliyə çevirən bütün qiymətləri çoxluğuna deyilir». Həllər çoxluğu eyni olan bərabərsizliklər eynigüclüdür. Bərabərsizliyi addım-addım eynigüclü və daha sadə bərabərsizliklərlə əvəz edirik:

• toplananı əks işarə ilə bir tərəfdən o biri tərəfə keçirmək olar;
• hər iki tərəfi eyni müsbət ədədə vurduqda və ya böldükdə işarə saxlanılır;
• hər iki tərəfi eyni mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişir: > ↔ <, ≥ ↔ ≤.

Ən böyük (ən kiçik) tam həll — həllər çoxluğuna daxil olan tam ədədlərin ən böyüyü (ən kiçiyi). Sərhəd kəsr ədəddirsə, onu ədəd oxunda təsəvvür edin: mənfi ədədlərdə −4 > −4,5, yəni −4 sağdadır. Sərhəd tam ədəddirsə, işarəyə baxın: ciddi işarədə (>, <) sərhəd həll deyil, qeyri-ciddi işarədə (≥, ≤) həlldir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKvadratları ixtisar olunan bərabərsizlik

Bərabərsizliyin ən kiçik tam həllini tapın:

(2x − 3)2 − (4x + 1)(x − 2) ≤ 19

1. (2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9.
2. (4x + 1)(x − 2) = 4x2 − 8x + x − 2 = 4x2 − 7x − 2.
3. Fərq: 4x2 − 12x + 9 − (4x2 − 7x − 2) = 4x2 − 12x + 9 − 4x2 + 7x + 2 = −5x + 11. Bərabərsizlik xətti oldu: −5x + 11 ≤ 19.
4. −5x ≤ 8; −5‑ə bölürük, işarə dəyişir: x ≥ −1,6.
5. Həllər −1,6‑dan kiçik olmayan ədədlərdir. Tam həllərin ən kiçiyi −1‑dir (−2 isə −1,6‑dan soldadır).
6. Cavab: −1

Ədəd oxu: −1,6 nöqtəsi rənglənib, həllər şüası sağa gedir; −1 tam həll kimi işarələnib

x ≥ −1,6: həllər sağa gedir. −1 həllərdəki ən kiçik tam ədəddir; −2 isə −1,6‑dan soldadır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = −1: (−5)2 − (−3) · (−3) = 25 − 9 = 16, 16 ≤ 19 ✓. x = −2: (−7)2 − (−7) · (−4) = 49 − 28 = 21, 21 ≤ 19 doğru deyil ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −2x ≥ −1,6 alınıb, amma −1,6 aşağı yuvarlaqlaşdırılıb. −2 < −1,6, deməli −2 həll deyil: x = −2‑də sol tərəf 49 − 28 = 21, 21 ≤ 19 isə doğru deyil.
• 1−5x ≤ 8 bərabərsizliyində minus itirilib (x ≥ 1,6) və ədəd aşağı yuvarlaqlaşdırılıb. Düzgün: x ≥ −1,6.
• 2−5‑ə bölərkən −5‑in minus işarəsi itirilib: 8 : 5 = 1,6 götürülüb. Düzgün: 8 : (−5) = −1,6, yəni x ≥ −1,6.
• Ən kiçik tam həlli yoxdur−5‑ə bölərkən işarə dəyişdirilməyib: x ≤ −1,6 alınıb (bu çoxluğun ən kiçik ədədi yoxdur). Mənfi ədədə bölərkən işarə dəyişir: x ≥ −1,6.