Üç aralıq üzərində əməllər

1 · Əsas fikir

Kəsişmə və birləşmə

Əsas fikir

Dərslik: aralıqların kəsişməsi (∩) onların ortaq hissəsidir — hər iki aralığa aid olan ədədlər. Birləşmə (∪) — aralıqların heç olmasa birinə aid olan bütün ədədlər. Dərslikdəki nümunələr: (−1; 7) ∩ [2; 8) = [2; 7) və (−3; 4] ∪ [−2; 8] = (−3; 8].

• Ucu kəsişməyə yalnız hər iki aralığa aid olduqda daxil edirik.
• Ucu birləşməyə aralıqların heç olmasa birinə aid olduqda daxil edirik.
• Aralıqları ədəd oxunda müxtəlif ştrixlərlə çəkmək kəsişməni (iki ştrixin üst-üstə düşdüyü hissə) və birləşməni (ən azı bir ştrix) görməyə kömək edir.

Aralığa aid olan tam ədədləri tapmaq üçün hər ucu iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşdiririk. Kvadrat kök üçün tam kvadratlara baxırıq: məsələn, 9 < 13 < 16 olduğuna görə 3 < √13 < 4.

• Sol uc tam ədəd deyilsə, ən kiçik tam ədəd ondan sağdakı ilk tam ədəddir; sol uc tam ədəddirsə, kvadrat mötərizədə o özü daxildir, dairəvidə isə daxil deyil.
• Sağ uc üçün də eyni: ondan soldakı ilk tam ədəd və ya (kvadrat mötərizədə) ucun özü.
• Mənfi ədədlərdə diqqət: −√13 ≈ −3,6 olduğu üçün −3 ondan sağdadır (böyükdür), −4 isə soldadır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqÜç aralıq üzərində əməllər

A, B və C aralıqları verilmişdir:

A = (−√20; 3]

B = [−2,5; 7)

C = (1; √50)

(A ∩ B) ∪ C çoxluğuna daxil olan bütün tam ədədlərin cəmini tapın. Həllinizi addım-addım əsaslandırın.

1. Kökləri qiymətləndiririk: 16 < 20 < 25 → 4 < √20 < 5, yəni −√20 ≈ −4,5; 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8.
2. A ∩ B: sol uclar −√20 və −2,5 — böyüyü −2,5 (B‑yə daxildir, A-nın içindədir) → daxil. Sağ uclar 3 və 7 — kiçiyi 3 (A‑ya daxildir, B-nin içindədir) → daxil. A ∩ B = [−2,5; 3].
3. (A ∩ B) ∪ C: [−2,5; 3] və (1; √50) üst-üstə düşür (1 < 3), birləşmə bir aralıqdır: [−2,5; √50).
4. Tam ədədlər: −2, −1, 0, 1, …, 7 (√50 > 7, amma 8 > √50).
5. Cəm: (−2) + 2 = 0, (−1) + 1 = 0; qalır 0 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.
6. Cavab: 25

(A ∩ B) ∪ C = [−2,5; √50): −2,5 rənglənmiş, √50 ≈ 7,07 boş nöqtə; içindəki tam ədədlər −2‑dən 7‑yə qədər seçilib.

Nəticə aralığı [−2,5; √50); narıncı xətlər — onun tam ədədləri (−2…7).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

−2: −2 ∈ A (−√20 < −2 ≤ 3) və −2 ∈ B ✓; −3 ∉ B ✓; 7: 7 ∈ C (7² = 49 < 50) ✓; 8 ∉ C (64 > 50) ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 22−3 də toplanıb. −3 < −2,5, ona görə −3 B‑yə, deməli A ∩ B‑yə daxil deyil; C‑yə də daxil deyil.
• 3Yalnız A ∩ B = [−2,5; 3] çoxluğunun tam ədədləri toplanıb, C ilə birləşmə unudulub.
• 338 də toplanıb, amma √50 ≈ 7,07 < 8: 8 aralıqdan kənardır.
• 20Əməllərin yeri dəyişdirilib: (A ∪ B) ∩ C = (1; 7) hesablanıb. Mötərizə əvvəl kəsişməni tələb edir.