Mətn
İki düz yol C kəsişməsində düz bucaq altında kəsişir. Bu yollar üzərindəki A və B qəsəbələrini düz AB magistralı birləşdirir. C kəsişməsindən magistrala ən qısa CD yolu çəkilib (CD ⊥ AB); D nöqtəsi A-dan 1,6 km, B-dən 0,9 km məsafədədir.
Sürücü A-dan C-yə ya birbaşa AC yolu ilə, ya da magistralla D-yə qədər, sonra DC yolu ilə gedə bilər. Birbaşa AC yolu ikinci marşrutdan neçə kilometr qısadır? Cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Hündürlük və katetlər həndəsi ortadır
Əsas fikir
Teorem. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük üçbucağı özünə oxşar iki üçbucağa ayırır.» ∆ABC ∼ ∆ACD ∼ ∆CBD (∠C = 90°, CD ⊥ AB).
Nəticə 1. Dərslik: «Düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu ayırdığı parçalar arasında həndəsi ortadır.» AD : CD = CD : DB, yəni CD² = AD · DB.
Nəticə 2. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda hər bir katet hipotenuz və həmin katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyası arasında həndəsi ortadır.» AB : AC = AC : AD, yəni AC² = AB · AD; eləcə də BC² = AB · DB. Burada AD parçası AC katetinin, DB isə BC katetinin hipotenuz üzərində proyeksiyasıdır.
Ən qısa yol. Nöqtədən düz xəttə ən qısa yol bu düz xəttə çəkilmiş perpendikulyardır, ona görə CD ⊥ AB.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqYolların müqayisəsi
İki düz yol C kəsişməsində düz bucaq altında kəsişir. Bu yollar üzərindəki A və B qəsəbələrini düz AB magistralı birləşdirir. C kəsişməsindən magistrala ən qısa CD yolu çəkilib (CD ⊥ AB); D nöqtəsi A-dan 1,6 km, B-dən 0,9 km məsafədədir.
Sürücü A-dan C-yə ya birbaşa AC yolu ilə, ya da magistralla D-yə qədər, sonra DC yolu ilə gedə bilər. Birbaşa AC yolu ikinci marşrutdan neçə kilometr qısadır? Cavabınızı əsaslandırın.
- Sxem düzbucaqlı ABC üçbucağıdır: ∠C = 90°, CD ⊥ AB, AD = 1,6 km, DB = 0,9 km. Magistral: AB = 1,6 + 0,9 = 2,5 km.
- Birbaşa yol AC katetidir, onun proyeksiyası AD-dir. ∆ABC ∼ ∆ACD olduğundan AC² = AB · AD = 2,5 · 1,6 = 4, AC = 2 km.
- CD hündürlüyü AD və DB arasında həndəsi ortadır (∆ACD ∼ ∆CBD): CD² = AD · DB = 1,6 · 0,9 = 1,44, CD = 1,2 km.
- İkinci marşrut: AD + DC = 1,6 + 1,2 = 2,8 km. Fərq: 2,8 − 2 = 0,8 km — birbaşa yol 0,8 km qısadır.
- Cavab: 0,8 km
Yol sxemi: AC və BC yolları C-də düz bucaq altında kəsişir, AB magistralı, CD ⊥ AB, AD = 1,6 km, DB = 0,9 km
Birbaşa yol AC = 2 km (qırmızı); ikinci marşrut AD + DC = 1,6 + 1,2 = 2,8 km.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Pifaqor teoremi ilə ACD üçbucağında: 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4 = 2² ✓. Üçbucaq bərabərsizliyi də uyğundur: AC = 2 < AD + DC = 2,8 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 0,4 kmAC − AD = 2 − 1,6 hesablanıb: ikinci marşrutun DC hissəsi (1,2 km) unudulub.
- 1,6 kmAC² = AD · DB yazılıb və AC = 1,2 alınıb. AD · DB hündürlüyün (CD) kvadratıdır; AC² = AB · AD = 4.
- 1,3 kmBirbaşa yol kimi BC = √(0,9 · 2,5) = 1,5 km götürülüb. Sürücü A-dan gedir, AC-nin proyeksiyası AD-dir.
- 0,85 kmCD ədədi orta kimi götürülüb: (1,6 + 0,9) : 2 = 1,25 və marşrut 2,85 km. CD həndəsi ortadır: 1,2 km.