Proyeksiyanı tənlikdən tapmaq

1 · Əsas fikir

Katet hipotenuz və öz proyeksiyası arasında həndəsi ortadır

Əsas fikir

Teorem. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük üçbucağı özünə oxşar iki üçbucağa ayırır.» ∆ABC ∼ ∆ACD ∼ ∆CBD (∠C = 90°, CD ⊥ AB).

Nəticə 2. Dərslik: «Düzbucaqlı üçbucaqda hər bir katet hipotenuz və həmin katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyası arasında həndəsi ortadır.» AB : AC = AC : AD, yəni AC² = AB · AD; eləcə də BC² = AB · DB. Burada AD parçası AC katetinin, DB isə BC katetinin hipotenuz üzərində proyeksiyasıdır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqProyeksiyanı tənlikdən tapmaq

ABC üçbucağında ∠C = 90°, CD hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. AC = 6 sm, DB = 5 sm olarsa, AD parçasını tapın.

1. AD = x sm olsun. Onda AB = AD + DB = x + 5.
2. AD parçası AC katetinin proyeksiyasıdır. Nəticə 2 (∆ABC ∼ ∆ACD): AC² = AB · AD, yəni 36 = (x + 5) · x.
3. x² + 5x − 36 = 0. Diskriminant: D = 25 + 144 = 169, x = (−5 ± 13) : 2, yəni x = 4 və ya x = −9.
4. Uzunluq mənfi ola bilməz, ona görə x = −9 atılır: AD = 4 sm.
5. Cavab: 4 sm

Düzbucaqlı ABC üçbucağı: AD = x, AB = x + 5, AC² = AB · AD

AD = x, AB = x + 5; AC² = AB · AD verir x = 4.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

AB = 4 + 5 = 9, AB · AD = 9 · 4 = 36 = AC² ✓. CD² = AD · DB = 20, AD² + CD² = 16 + 20 = 36 = AC² ✓ (Pifaqor).

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 9 smx² + 5x − 36 = 0 tənliyinin kökləri 4 və −9-dur. −9 uzunluq ola bilməz; 9 isə tənliyin kökü deyil (81 + 45 − 36 ≠ 0). Həm də AB = 9 — bu, hipotenuzdur.
• 7,2 smAC² = AD · DB yazılıb: 36 = 5x. AD · DB hündürlüyün kvadratıdır; AC² = AB · AD.
• 2,2 smAC² = AB · DB yazılıb (AB = 7,2, AD = 7,2 − 5). DB parçası BC katetinin proyeksiyasıdır, AC-nin yox.
• √11 smAD² = AC² − DB² = 36 − 25 yazılıb. DB ACD üçbucağının tərəfi deyil; ACD-də ikinci katet CD-dir.