Dönmələrlə kvadratın qurulması

1 · Əsas fikir

Parça uc nöqtəsi ətrafında dönür

Əsas fikir

«Müstəvinin hərəkəti zamanı O nöqtəsindən çıxan ixtiyari şüa eyni istiqamətdə α bucağı qədər dönərsə, bu hərəkətə müstəvinin O nöqtəsi ətrafında α bucağı qədər dönməsi deyilir.» O — dönmə mərkəzi, α — dönmə bucağı. Dönmə saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində və ya onun əksi istiqamətində ola bilər.

Mərkəz başlanğıc deyilsə, qayda mərkəzdən nöqtəyə olan addıma tətbiq edilir: addım (a; b) saat əqrəbinin əksinə 90° dönəndə (−b; a), saat əqrəbi istiqamətində dönəndə (b; −a) olur; sonra döndərilmiş addım mərkəzə əlavə edilir.

Dönmə məsafəni saxlayır: A nöqtəsi A₁-ə keçirsə, OA = OA₁; A → A₁, B → B₁ olarsa, AB = A₁B₁. Dönmə mərkəzi yerində qalır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqDönmələrlə kvadratın qurulması

A(1; 1) və B(5; 2) nöqtələri verilib. AB parçası A nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin hərəkətinin əksi istiqamətində 90° döndərildikdə AD parçası, B nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində 90° döndərildikdə isə BC parçası alınır. C və D nöqtələrinin dörd koordinatının cəmini tapın. ABCD dördbucaqlısının kvadrat olduğunu əsaslandırın.

1. A ətrafında dönmə: A-dan B-yə addım (5 − 1; 2 − 1) = (4; 1). Saat əqrəbinin əksinə 90°: (a; b) → (−b; a), (4; 1) → (−1; 4). D = A + (−1; 4) = (0; 5).
2. B ətrafında dönmə: B-dən A-ya addım (−4; −1). Saat əqrəbi istiqamətində 90°: (a; b) → (b; −a), (−4; −1) → (−1; 4). C = B + (−1; 4) = (4; 6).
3. Cəm: 4 + 6 + 0 + 5 = 15.
4. Kvadrat olması: dönmə parçanın uzunluğunu saxlayır, ona görə AD = AB və BC = AB. Dönmə bucağı 90° olduğundan ∠DAB = 90° və ∠ABC = 90°. AD və BC hər ikisi AB-yə perpendikulyardır, deməli AD ∥ BC, həm də AD = BC — ABCD paraleloqramdır (iki qarşı tərəfi paralel və bərabərdir). Bucağı düz və qonşu tərəfləri bərabər (AD = AB) olan paraleloqram kvadratdır.
5. Cavab: 15 (C(4; 6), D(0; 5))

AB parçasının A və B ətrafında 90° dönmələri

AB parçası A ətrafında 90° dönüb AD, B ətrafında 90° dönüb BC olur; DC addımı AB addımı ilə eynidir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

D-dən C-yə addım (4; 1) A-dan B-yə addımla eynidir, deməli DC ∥ AB və DC = AB ✓. Dörd tərəfin hər biri (4; 1) və ya (−1; 4) addımıdır; Pifaqor teoreminə görə hamısının uzunluğunun kvadratı 4² + 1² = 17-dir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 3Hər iki dönmənin istiqaməti dəyişik götürülüb: D(2; −3), C(6; −2). A ətrafında saat əqrəbinin əksinə: AB addımı (4; 1) → (−1; 4), D(0; 5); B ətrafında saat əqrəbi istiqamətində: BA addımı (−4; −1) → (−1; 4), C(4; 6).
• 6Döndərilmiş addımlar (−1; 4) özləri nöqtə kimi götürülüb, dönmə mərkəzlərinə (A və B-yə) əlavə edilməyib: −1 + 4 − 1 + 4 = 6.
• 9Dönmələrdən biri səhv istiqamətdə aparılıb (məsələn, D(2; −3) və C(4; 6): 2 − 3 + 4 + 6 = 9). Hər dönmənin istiqaməti şərtdəki kimi olmalıdır.
• 24Dörd təpənin hamısının koordinatları toplanıb (A və B də). Yalnız C və D-nin koordinatları soruşulur: 4 + 6 + 0 + 5 = 15.