Audio dərs · Müddət
9:17
Mətn (transkript)
Səhər açılır. Dəniz kənarındakı təpədə ağ paltarlı bir dəstə adam doğan günəşə əllərini qaldırıb. Birinin əlində simli musiqi aləti var. Bu, rəssam Fyodr Brunnikovun min səkkiz yüz altmış doqquzuncu ildə çəkdiyi tablodur: «Pifaqorçular günəşin doğmasını seyr edirlər». Pifaqor eramızdan əvvəl altıncı əsrdə yaşamış yunan alimi idi. Onun məktəbində fəlsəfə, astronomiya, həndəsə və musiqi öyrədilirdi. Şagirdləri özlərini pifaqorçular adlandırırdılar və inanırdılar ki, təbiətdə tam ədədlər və onların nisbətlərindən yaranan harmoniya hökm sürür. Amma bir ədəd bu harmoniyaya sığmadı. Təsəvvür edin: iki qısa tərəfi, yəni katetləri bir vahid olan bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaq. Onun ən uzun tərəfi, hipotenuzu, ikinin kvadrat köküdür. Pifaqorçular nə qədər çalışsalar da, bu ədədin rasional olmadığını, yəni iki tam ədədin nisbəti kimi yazılmadığını gizlədə bilmədilər. Belə ədədlər irrasional, yəni rasional olmayan ədədlərdir. Bununla bağlı bir rəvayət də var. Rəvayətə görə, sirr açılmasın deyə pifaqorçular ikinin kökünün rasional olmadığını sübut edən öz tələbələri Hipasusu dənizə atmaqdan belə çəkinməyiblər. Dərslik bunu rəvayət kimi danışır, bunun həqiqətən baş verib-vermədiyini bilmirik. Amma rəvayətdən bir dərs çıxır: uyğun gəlməyən cavabı gizlətmək olmaz, onu açıq yoxlamaq lazımdır. Bu gün həmin işarənin, kvadrat kök işarəsinin altında gizlənən məchullarla görüşəcəyik. Və bir sirri açacağıq. Təsəvvür edin ki, bir şagird tənliyi həll edir. Hər addımı düzgündür, heç bir hesab səhvi yoxdur. Sonda iki cavab alır. Amma bu cavablardan biri yalandır: onu tənliyə qoyanda tənlik ödənmir. Düzgün addımlar necə yalan cavab verə bilər? Dərsin sonunda bunun səbəbini də, yalançı cavabı necə tutacağınızı da biləcəksiniz. Əvvəlcə adlarla tanış olaq. Dəyişəni radikal işarəsinin, yəni kök işarəsinin altında olan tənliyə irrasional tənlik deyilir. Dəyişən kəsr üstlü qüvvətdə olanda da tənlik irrasionaldır, çünki kəsr üstlü qüvvət elə kökün başqa yazılışıdır. Belə tənliklərin həlli həqiqi ədədlər içində axtarılır. İndi bu mövzunun ən vacib qaydasını yadda saxlayın. Kvadrat kök, ümumiyyətlə cüt dərəcədən kök, heç vaxt mənfi ədəd vermir. Dərslik bunu belə deyir: cüt dərəcədən radikalın hesabi qiyməti götürülür, yəni mənfi olmayan qiyməti. Tək dərəcədən kökdə, məsələn kub kökdə isə belə məhdudiyyət yoxdur: mənfi ədədin də kub kökü var. Bu qayda bəzən hesablamadan cavab verir. Doqquzuncu sinif dərsliyində belə bir nümunə var: kökü tənliyin bir tərəfində tək saxlayırsan, yəni radikalı təkləyirsən, və görürsən ki, kök mənfi ikiyə bərabər olmalıdır. Bu mümkün deyil. Kvadrat kök mənfi ola bilməz, deməli tənliyin kökü yoxdur. Bir sətirlik müşahidə uzun hesabdan xilas edir. Gəlin indi irrasional tənliyi həll etməyin əsas alətinə baxaq. Kökdən qurtulmaq üçün radikalı bir tərəfdə saxlayıb hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik. Kök yox olur, qarşımızda adi, rasional tənlik qalır, çox vaxt da artıq tanış olan kvadrat tənlik. Bu, güclü alətdir. Amma onun bir zəif cəhəti var. Kvadrata yüksəltmə pozan kimidir: ədədin işarəsini silir. İki də, mənfi iki də kvadrata yüksələndə dörd olur. Kvadratdan sonra onları bir-birindən ayırmaq olmur. Yəni kvadratlanmış tənlik əsl tənliyin sualından daha geniş bir suala cavab verir. O, «sol tərəf sağ tərəfə bərabərdirmi» sualına yox, «sol tərəf sağ tərəfə ya bərabərdir, ya da onun əksidirmi» sualına cavab verir. Dərsliyin nümunəsində bunu öz gözümüzlə görək. Tənlik belədir: x çıx üçün kvadrat kökü üstəgəl x bərabərdir beş. Kökü təkləyib kvadrata yüksəldəndə kvadrat tənlik alınır və onun iki kökü çıxır: dörd və yeddi. Yeddiyə baxaq. Yeddi çıx üç dörddür, dördün kökü isə ikidir. Sağ tərəfdə isə beş çıx yeddi, yəni mənfi iki qalır. İki ilə mənfi iki: kvadratda eyni, əsl tənlikdə fərqli. Yalançı cavab buradan gəldi. Dərslik bunu ümumi qayda kimi yazır: cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə dəyişənin mümkün qiymətləri çoxluğu genişlənə bilər, ona görə tapılan köklərin bəziləri verilmiş tənliyi ödəməyə bilər. Tək dərəcədən qüvvətdə isə, məsələn kuba yüksəldəndə, belə təhlükə yoxdur. Kub işarəni saxlayır: ikinin kubu səkkiz, mənfi ikinin kubu mənfi səkkizdir. Ona görə alınan tənlik verilmiş tənliklə eynigüclü olur. Bəs yalançı köklərdən necə qorunaq? Dərslik iki yol göstərir. Birinci yol yoxlamadır. Tapdığın hər ədədi əsl tənliyə, yəni kvadratlanmamış tənliyə qaytarıb qoyursan. Dördü qoyanda sol tərəf beş olur. Beş beşə bərabərdir, tənlik ödənir. Yeddini qoyanda isə sol tərəf doqquz olur, sağda isə beş durur. Doqquz beş deyil. Deməli, yeddi cavab deyil, o, kvadratlamanın yaratdığı yalançı kökdür. Cavab yalnız dörddür. İkinci yol qabaqcadan şərt qoymaqdır. Kökü təklədikdən sonra bilirik ki, kök mənfi ola bilməz. Onda tənliyin sağ tərəfi də mənfi olmamalıdır. Bu şərti tənliyin yanına yazırıq və ikisini birlikdə, sistem kimi həll edirik. Dərslik bunu eynigüclü sistem adlandırır. Bu şərt keçid məntəqəsindəki möhür kimidir: yalnız möhür alan ədəd cavaba keçir. Nümunəmizdə sağ tərəf beş çıx x idi. Yeddi bu möhürü almır, çünki beşdən böyükdür və sağ tərəfi mənfi edir. İndi bərabərsizliklərə keçək. Radikal işarəsi altında dəyişəni olan bərabərsizliyə irrasional bərabərsizlik deyilir. Burada yoxlama yolu çətinləşir: cavab bir-iki ədəd yox, bütöv bir aralıq olur, sonsuz sayda ədədi isə bir-bir yoxlamaq olmaz. Ona görə burada şərtlər əsas rol oynayır və bərabərsizlik rasional bərabərsizliklər sisteminə gətirilir. Ədəd oxunu təsəvvür edin. Birinci şərt həmişə eynidir: kvadrat kökün altındakı ifadə mənfi ola bilməz. Doqquzuncu sinif dərsliyinin nümunəsində bu şərt ədəd oxunda ikidən başlayan hissəni saxlayır. İkidən kiçik bir ədəd, məsələn bir götürsək, kökün altında mənfi ədəd alınır və ifadə mənasız olur. Sonra kökü təkləyib kvadrata yüksəldirik və ikinci şərti alırıq. Cavab bu şərtlərin kəsişməsidir. Bəzən isə sağ tərəfin işarəsi əvvəlcədən məlum olmur. Onda dərslik iki hala baxmağı göstərir. Tutaq ki, kökün sağ tərəfdən böyük olması tələb olunur. Əgər sağ tərəf mənfidirsə, iş asandır: mənfi olmayan kök istənilən mənfi ədəddən böyükdür, yalnız kökün mənalı olması lazımdır. Sağ tərəf mənfi deyilsə, hər iki tərəfi rahatca kvadrata yüksəldə bilərik. Sonda iki halın cavabları birləşdirilir. Addım-addım həlləri, intervallar üsulunu və ədəd oxu üzərindəki şəkilləri bu mövzunun oxu dərsində və videolarında tapacaqsınız. Burada yadda saxlamalı olduğunuz şey düşüncə tərzidir: kvadrata yüksəltməzdən əvvəl özünüzdən soruşun, hər iki tərəf həqiqətən mənfi deyilmi? Gəlin yenidən o səhərə, dəniz kənarına qayıdaq. Pifaqorçular uyğun gəlməyən ədədi gizlətmək istəyirdilər. Bu gün biz tam əksini edirik: uyğun gəlməyəni açıq yoxlayırıq. İrrasional tənlikdə də elədir. Yalançı kök səhv deyil, kvadratlamanın təbii nəticəsidir. Onu gizlətməyə ehtiyac yoxdur, sadəcə onu tutmaq lazımdır. Beləliklə, dərsin əsas fikri budur. Kvadrat kök heç vaxt mənfi olmur, kvadrata yüksəltmə isə işarəni unudur. Ona görə ya əvvəlcədən şərt yaz, ya da tapdığın hər cavabı əsl tənliyə qaytarıb yoxla. Hər addımı düzgün olan həll belə yoxlamadan tam deyil.