Loqarifmik tənliklər sistemi: dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: yer birdən titrəyir. Seysmik stansiyada seysmoqrafın iynəsi kağız üzərində iri dalğalar cızır. Sonra məlum olur ki, bu, Rixter şkalası ilə beş tam onda üç bal gücündə zəlzələ idi. Bir az sonra yer yenidən titrəyir. Bu, ardıcıl təkandır və onun dalğalarının amplitudu birinci zəlzələdəkindən yüz iyirmi beş dəfə kiçikdir. Dərsliyimizdəki bir məsələ məhz bunu soruşur: ardıcıl təkanın gücü neçə baldır? Bu sualın cavabı bir alimin fikrindən başlayır. Dərsliyə görə, min doqquz yüz otuz beşinci ildə amerikalı seysmoloq Çarlz Rixter zəlzələnin gücünü hesablamaq üçün bir düstur müəyyən etdi və loqarifmik şkala yaratdı. Bu şkala Rixter şkalası adlanır. Seysmoqraf zəlzələ zamanı seysmik dalğaların ən böyük amplitudunu qeyd edir. Rixter onu cihazın qeyd edə bildiyi ən zəif zəlzələnin, sıfır zəlzələ deyilən təkanın amplitudu ilə müqayisə etdi. Şkalanın sirri belədir: bal bir vahid artanda dalğaların amplitudu on dəfə böyüyür. Dərslik yazır ki, dörd ballıq zəlzələnin dalğaları üç ballıqdakından on dəfə böyükdür. Yəni bal əslində bir sualın cavabıdır: on ədədini hansı qüvvətə yüksəltsək, amplitudların nisbətini alarıq? Bu, loqarifm sualıdır. Real məsələlərdə isə naməlum çox vaxt bir deyil, iki olur və onlar iki şərtlə bağlanır. Onda loqarifmik tənliklər sistemi yaranır. Bu gün biz məhz onu öyrənəcəyik. İki naməlum, iki ipucu və dörd addım: mümkün qiymətlər, adi tənliyə keçid, əvəzetmə və yoxlama. Əvvəlcə loqarifmin özünü xatırlayaq. Loqarifm əslində bir sualdır: əsası hansı qüvvətə yüksəltməliyik ki, verilmiş ədədi alaq? Məsələn, ikini hansı qüvvətə yüksəltsək, on altı alarıq? Dördüncü qüvvətə. Deməli, on altının iki əsasdan loqarifmi dördə bərabərdir. Bunu bir cümlə ilə yadda saxlayın: əsası loqarifmə bərabər qüvvətə yüksəltsəniz, ədədin özünü alırsınız. Bu sualın öz qaydaları var. Əsas müsbət olmalıdır və birə bərabər ola bilməz, çünki birin bütün qüvvətləri yenə birdir. Ədəd də müsbət olmalıdır. Səbəbi sadədir: müsbət əsası hansı qüvvətə yüksəltsəniz də, nəticə həmişə müsbət çıxır. Ona görə sıfırın və mənfi ədədin loqarifmi yoxdur. Bu kiçik fakt bütün dərsin açarıdır, bir azdan görəcəksiniz. İndi sistemə keçək. Tənliklər sistemi iki ipucu olan tapmacaya bənzəyir: iki naməlum var və hər ipucu onlar haqqında bir şey deyir. Cavab hər iki ipucunu eyni anda ödəməlidir. Dərsliyin nümunəsində birinci ipucu deyir ki, iki ədədin cəmi altıdır. İkinci ipucu isə loqarifm dilində danışır: bu ədədlərin iki əsasdan loqarifmlərinin cəmi üçdür. Hesablamağa başlamazdan əvvəl ilk iş mümkün qiymətləri yazmaqdır. Loqarifmin altında duran hər ifadə müsbət olmalıdır. Dərslik bunu bir cümlə ilə deyir: aydındır ki, hər iki naməlum sıfırdan böyük olmalıdır. Bu şərti vərəqin kənarına yazın. Bu şərt qapıdakı nəzarətçiyə bənzəyir. Hesablamalar zamanı onu unutmuş kimi görünə bilərik, amma sonda tapdığımız hər cavab bu qapıdan keçməlidir. Mürəkkəb sistemlərdə şərtlər daha uzun olur, məsələn, iki ədədin fərqi də müsbət olmalı ola bilər. Qayda isə dəyişmir: loqarifmin altındakı hər şey sıfırdan böyükdür. Növbəti addım loqarifmləri adi tənliyə çevirməkdir. Burada iki köməkçi qayda var. Birincisi: eyni əsaslı iki loqarifmin cəmi, ədədlərin hasilinin loqarifminə bərabərdir. İkincisi: loqarifm hansısa ədədə bərabərdirsə, bu, sadəcə qüvvət haqqında bir cümlədir və onu qüvvət dilinə qaytara bilərik. Birinci qayda ilə iki loqarifm birləşib bir loqarifm olur. Nümunəmizə qayıdaq. Birləşmədən sonra ikinci ipucu deyir: hasilin iki əsasdan loqarifmi üçdür. Qüvvət dilində bu o deməkdir ki, hasil ikinin kubuna, yəni səkkizə bərabərdir. Loqarifmlər yox oldu! İndi qarşımızda tanış bir tapmaca var: cəmi altı, hasili səkkiz olan iki ədəd. Bəzən sistemin bir tənliyi loqarifmik, o biri isə üstlü olur. Dərsliyin ikinci nümunəsində iki ədədin fərqinin iki əsasdan loqarifmi birə bərabərdir. Əsas iki olduğuna görə, bu cümlə sadəcə deyir ki, fərq ikiyə bərabərdir. Yenə də loqarifm ilk addımda adi tənliyə çevrilir və qalan iş tanış üstlü tənliyə düşür. İndi əvəzetmə növbəsidir. Sistemdə iki naməlum var, amma bir naməlumlu tənliyi həll etmək daha asandır. Ona görə birinci ipucundan bir naməlumu o biri ilə ifadə edirik: ikinci ədəd, altıdan birincini çıxanda qalan ədəddir. Bunu ikinci ipucunda yerinə qoyuruq və iki naməlumdan biri yox olur. Nəticədə bir naməlumlu kvadrat tənlik alınır. Onun kökləri iki və dörddür. Deməli, ədədlər iki və dörddür, sadəcə sıra fərqlidir: birinci iki olanda ikinci dörd, birinci dörd olanda ikinci iki olur. Sistemin iki həlli var, hər biri bir cüt ədəddir. Əvəzetmənin başqa bir növü də var. Əgər tənlikdə eyni loqarifm dəfələrlə təkrarlanırsa, onu yeni bir hərflə adlandırırıq. Onda loqarifmli tənlik adi kvadrat tənliyə çevrilir. Onu həll edib yeni hərfin qiymətlərini tapırıq, sonra geri qayıdıb yenə həmin sualı veririk: əsası hansı qüvvətə yüksəltsək, bu ədədi alarıq? Son addım ən çox unudulan addımdır: yoxlama. Niyə lazımdır? Loqarifmləri adi tənliyə çevirəndə müsbətlik şərti tənliyin içindən çıxır və gözdən itir. Adi tənlik isə mənfi kökləri də rahatca qəbul edir. Ona görə tapılan hər cavabı qapıdakı nəzarətçiyə, yəni əvvəlcədən yazdığımız şərtlərə göstəririk. Onuncu sinif dərsliyində belə bir nümunə var. Loqarifmik tənlik adi tənliyə çevriləndə iki kök verir: mənfi bir və mənfi beş tam onda beş. Yoxlayanda məlum olur ki, mənfi beş tam onda beş loqarifmlərin altındakı ifadələri mənfi edir. Deməli, o, tənliyin kökü deyil və onu atırıq. Mənfi bir isə bütün şərtləri ödəyir. Deməli, tənliyin yeganə kökü odur. Bizim sistemdə isə hər iki cüt müsbət ədədlərdən ibarətdir və qapıdan rahat keçir. Hər iki həll qalır. Yəni yoxlama bəzən cavabların sayını azaldır, bəzən də hamısını olduğu kimi saxlayır, amma hər dəfə lazımdır. Gəlin seysmik stansiyaya qayıdaq. Ardıcıl təkanın dalğaları yüz iyirmi beş dəfə kiçik idi. Yüz iyirmi beş yüzdən bir az çoxdur, yüz isə on ədədinin kvadratıdır. Ona görə bal iki vahiddən bir az çox azalır. Dəqiq hesablasanız, ardıcıl təkan təxminən üç tam onda iki bal gücündə çıxır. Dalğalar yüz iyirmi beş dəfə zəifdir, fərq isə cəmi iki baldan bir az çoxdur: loqarifm nəhəng fərqləri kiçik, rahat ədədlərə çevirir. Bu dərsdən bir fikri götürün: loqarifmik sistemdə əvvəlcə şərtlər, sonra loqarifmdən adi tənliyə keçid, sonra əvəzetmə və ən sonda yoxlama. Şərtləri yazmadan başlamayın, yoxlamadan bitirməyin. Addım-addım işlənmiş nümunələri mətn dərsimizdə və videolarımızda tapa bilərsiniz. Növbəti dəfə qarşınıza loqarifm çıxanda xatırlayın: o, sadəcə soruşur, hansı qüvvət?