Sadə və mürəkkəb ədədlər

Mətn (transkript)

Səhər tezdən şirniyyat sexində sobanın qapısı açılır. Şirniyyatçı nimçəni masaya qoyur: üstündə on üç isti şəkərbura. İndi onları qutulara yığmaq lazımdır, elə ki, hər qutuda eyni sayda şəkərbura olsun. İki qutu götürür, hərəsinə altı dənə qoyur, bir şəkərbura artıq qalır. Üç qutu, dördər dənə, yenə biri artıq. Dörd qutu, beş qutu, altı qutu… hər dəfə nəsə düz gəlmir. Axırda cəmi iki yol qalır: ya on üçünü bir qutuya qoymaq, ya da hər qutuya bir dənə. Qonşu masada isə on iki şəkərbura var. Onları iki qutuya altı-altı, üç qutuya dörd-dörd, dörd qutuya üç-üç, altı qutuya iki-iki yığmaq olur. Bəs on iki niyə bu qədər itaətkardır, on üç isə bu qədər inadkar? Bu sualın cavabı riyaziyyatın ən qədim ideyalarından birinə aparır: sadə və mürəkkəb ədədlərə. Gəlin əvvəlcə bir sözü xatırlayaq: bölən. Bir ədədi başqa ədədə qalıqsız bölmək olursa, ikinci ədəd birincinin bölənidir. On ikinin bölənləri çoxdur: bir, iki, üç, dörd, altı və on ikinin özü. On üçün isə cəmi iki böləni var: bir və on üç. Riyaziyyatda belə ədədlərin adı var. Yalnız iki böləni olan, yəni yalnız birə və özünə bölünən natural ədədə sadə ədəd deyilir. Bölənlərinin sayı ikidən çox olan natural ədəd isə mürəkkəb ədəddir. On üç sadədir, on iki mürəkkəbdir. Şəkərburaların inadı da buradan gəlir. Bəs bir? Birin cəmi bir böləni var, o da özüdür. Ona görə bir nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir. Sadə ədədlər ikidən başlayır: iki, üç, beş, yeddi, on bir, on üç. Diqqət etdinizmi? İki cüt ədəddir, qalanları isə təkdir. Səbəbi sadədir: ikidən böyük hər cüt ədəd ikiyə bölünür, deməli, onun ən azı üç böləni var: bir, iki və özü. Beləliklə, iki yeganə cüt sadə ədəddir. Amma tələsməyək: hər tək ədəd sadə deyil. Doqquz təkdir, amma üçə bölünür. On beş də təkdir, amma həm üçə, həm beşə bölünür. Tək olmaq hələ sadə olmaq demək deyil. Bəs sadə ədədləri necə tapmaq olar? Bu suala iki min ildən çox əvvəl, eramızdan əvvəl üçüncü əsrdə doğulmuş yunan riyaziyyatçısı Eratosfen maraqlı bir üsulla cavab vermişdi. Bu üsula Eratosfen ələyi deyilir. Təsəvvür edin: lövhədə birdən, deyək ki, yüzə qədər bütün ədədlər yazılıb. Əvvəlcə birin üstündən xətt çəkirik, çünki o, sadə deyil. Sonra ikini saxlayırıq və ikiyə bölünən bütün ədədlərin üstündən xətt çəkirik. Sonra üçü saxlayırıq və üçə bölünənləri silirik. Sonra beş, sonra yeddi gəlir. Hər dəfə növbəti silinməmiş ədədi saxlayır, onun bölünənlərini silirik. Un ələyində iri dənələr ilişib qalır, xırda un aşağı tökülür. Eratosfenin ələyində isə mürəkkəb ədədlər bir-bir kənara çıxır və ələkdə yalnız sadə ədədlər qalır. Doğrudur, bu, sadəcə bənzətmədir: ədədlər öz-özünə tökülmür, onları addım-addım biz silirik. Bəs sadə ədədlər nə vaxtsa qurtarırmı? Bəlkə hansısa böyük ədəddən sonra hamısı mürəkkəbdir? Bu suala Eratosfenlə təxminən eyni dövrdə yaşamış başqa bir qədim yunan alimi, Evklid cavab verib. O, sadə ədədlərin sonsuz sayda olduğunu isbat etmişdir. Yəni nə qədər irəli getsək də, qarşımıza yenə yeni sadə ədəd çıxacaq. Sadə ədədlər alimləri sonra da maraqlandırmağa davam etdi. Dərsliyinizdə bir şəkil var: ədədlər birdən başlayaraq spiral kimi burulur, sadə ədədlər isə sarı dairələrlə seçilib. Bu təsviri ilk dəfə min doqquz yüz altmış üçüncü ildə Amerika riyaziyyatçısı Stanislav Ulam vermişdir. Ona sadə ədədlər spiralı deyirlər. İndi mürəkkəb ədədlərə qayıdaq. Onların gizli bir xüsusiyyəti var: hər bir mürəkkəb ədədi sadə ədədlərin hasili şəklində yazmaq olar. Buna ədədin sadə vuruqlara ayrılışı deyilir. Necə ayırırıq? Ədədi ən kiçik sadə ədədə, ikiyə bölürük, əgər bölünürsə. Alınan qisməti yenə ikiyə bölməyə çalışırıq. İkiyə bölünməyəndə üçə, sonra beşə, yeddiyə keçirik. Qismət bir olanda dayanırıq. Məsələn, on iki. İkiyə bölürük, altı alınır. Altını yenə ikiyə bölürük, üç alınır. Üçü üçə bölürük, bir alınır. Deməli, on iki bərabərdir iki vur iki vur üç. Ayırmağı başqa cür də başlamaq olar. On ikini dörd vur üç kimi yazıb dördü də ikiyə ayıra bilərik. Ya da altı vur iki ilə başlayaq. Hansı yolla getsək də, sonda eyni vuruqlar alınır: iki, iki və üç. Dərslik bunu belə deyir: vuruqların ardıcıllığını nəzərə almasaq, hər mürəkkəb ədədin sadə vuruqlara ayrılışı yeganədir. Buna görə sadə ədədləri ədədlərin kərpicləri adlandırmaq olar. Kərpiclərdən ev tikildiyi kimi, vurma əməli ilə sadə ədədlərdən bütün mürəkkəb ədədlər qurulur. Amma bənzətmənin bir sərhədi var: eyni kərpiclərdən müxtəlif evlər tikmək olar, bir ədədin sadə vuruqları isə həmişə eynidir. Bu kərpiclər bu gün çox ciddi bir işdə də işləyir: məlumatların şifrlənməsində. Əvvəlcə iki sadə ədəd seçilir və onlar bir-birinə vurulur. Alınan mürəkkəb ədəd məlumatı şifrləmək və deşifrləmək üçün açar olur. Seçilən iki sadə ədəd isə gizli açar kimi məxfi saxlanılır. Bəs bu niyə etibarlıdır? Çünki vurmaq asandır, geri ayırmaq isə çətindir. Kiçik ədədlərdə bunu hiss etmirik: iki ilə on bir vurulanda iyirmi iki alınır, iyirmi ikinin vuruqlarını isə hər kəs tapar. Amma seçilən sadə ədədlər çox böyük olanda onların hasilini yenidən sadə vuruqlara ayırmaq praktik olaraq mümkün olmur. Ona görə belə alqoritmlər məlumatların qorunması üçün etibarlı sayılır. İndi isə sexə qayıdaq. On üç şəkərbura niyə inad edirdi? Çünki on üç sadə ədəddir: birdən və özündən başqa böləni yoxdur. Əgər dörd şirniyyatçının hər biri on üç şəkərbura bişirsə, əlli iki şəkərbura olar. Əlli iki isə mürəkkəbdir: iki, iki və on üçün hasilidir. Hamısını bir qutuya yığmağı və hər qutuya bir dənə qoymağı saymasaq, dörd yol var: iki, dörd, on üç və ya iyirmi altı qutu. Yadda saxlamaq üçün bir fikir. Sadə sayda şeyi, hamısını bir yerə yığmadan və tək-tək paylamadan, bərabər dəstələrə bölmək olmur. Mürəkkəb ədədlər isə sadə ədədlərdən qurulur. Növbəti dəfə nəyisə bərabər bölmək istəyəndə əvvəlcə özünüzdən soruşun: bu say sadədir, yoxsa mürəkkəb?