Audio dərs · Müddət
11:59
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: payız səhəridir, Qəbələnin meşəli dağ yamacı. Dağın ətəyindən yuxarı uzun, düz bir cığır qalxır. Cığırın kənarında taxta dirəklər düzülüb, hər dirəyin üstündə nömrə yazılıb. Birinci dirək cığırın aşağı başındadır, qalanları sıra ilə yuxarı qalxır. Doqquzuncu sinif şagirdi Tofiq qoca palıd ağacının yanında dayanıb. Palıd iyirminci dirəyin yanındadır. Tofiq sinif yoldaşı Fidanla burada görüşməlidir. Birdən telefon səslənir. Fidandan qısa mesaj gəlib: «Yoldayam! Palıddan düz üç dirək aralıdayam.» Tofiq cavab yazmaq istəyir, amma ekranda yazı çıxır: şəbəkə yoxdur. Dağda belə olur. Tofiq cığıra baxır. Üç dirək, amma hansı tərəfə? Aşağıda, yoxsa yuxarıda? Bu kiçik tapmaca bugünkü mövzunun düz ortasındadır. Fidan haradadır? Niyə bir mesaj iki yer göstərir? Və riyaziyyat bu iki yerdən doğrusunu necə seçir? Cavabı dərsin sonunda birlikdə tapacağıq. Salam! Bu, doqquzuncu sinif riyaziyyatından dinləmə dərsidir. Mövzumuz modullu tənliklərdir, yəni dəyişəni modul işarəsinin içində olan tənliklər. Ədədin modulunu, yəni mütləq qiymətini, siz artıq bilirsiniz. Bu gün əvvəlcə modulu məsafə kimi eşidəcəyik. Sonra tənliyin kökləri nə vaxt iki olur, nə vaxt bir olur və nə vaxt heç olmur, bunu öyrənəcəyik. Ardınca iki halı və hər halın şərtini, sonra iki modullu tənlikləri, ən sonda isə modulun içində kvadrat və modulun içində modul olan tənlikləri dinləyəcəyik. Bir razılaşma edək. Modulu belə oxuyacağam: iks çıx üçün modulu. Bu, iks çıx üç ifadəsinin moduludur. Modul sözünü eşidəndə məsafəni xatırlayın. Birinci fəsil: modul məsafədir. Ədədin modulu həmin ədəddən sıfıra qədər olan məsafədir. Ədəd oxunu Tofiqin cığırı kimi təsəvvür edin, dirəklər isə ədədlərdir. İki ədədin fərqinin modulu bu iki ədəd arasındakı məsafədir. Məsələn, iks çıx iyirminin modulu iks nöqtəsi ilə iyirmi arasındakı məsafədir. İndi Fidanın mesajını riyaziyyat dilinə çevirək: iks çıx iyirminin modulu üçə bərabərdir. İyirmidən üç addım sağa getsək, iyirmi üç alınır. Üç addım sola getsək, on yeddi alınır. Tənliyin iki kökü var. Yoxlayaq. İyirmi üçdən iyirmini çıxsaq, üç qalır. On yeddidən iyirmini çıxsaq, mənfi üç alınır, modulu isə yenə üçdür. Modul istiqaməti unudur, yalnız məsafəni saxlayır. Buna görə bir mesaj iki yer göstərir. İndi sıra sizdədir. İks üstəgəl altının modulu ikiyə bərabərdir. Kökləri hansılardır? İpucu: iks üstəgəl altı, iks ilə mənfi altı ədədinin fərqidir. Mərkəzi tapın və fikirləşin. Mərkəz mənfi altıdır. Mənfi altıdan iki addım sağa getsək, mənfi dörd alınır. İki addım sola getsək, mənfi səkkiz alınır. Kökləri mənfi dörd və mənfi səkkizdir. Yadda saxlayın: modulun içində üstəgəl görəndə mərkəz sıfırdan solda, mənfi tərəfdə olur. İkinci fəsil: köklərin sayı. Modul məsafədir, məsafə isə heç vaxt sıfırdan kiçik olmur. Buna görə modullu tənlikdə əvvəlcə modulu bir tərəfdə tək saxlayırıq, sonra o biri tərəfə baxırıq. O biri tərəfdə müsbət ədəd varsa, tənliyin iki kökü olur. Sıfır varsa, bir kökü olur. Sıfırdan kiçik ədəd varsa, tənliyin kökü yoxdur. Bunu qrafikdə də görmək olar. Modulun qrafiki ucu aşağı baxan bucağa bənzəyir: ucu ox üzərindədir, iki qolu yuxarı açılır. Sağ tərəfdəki ədəd isə oxa paralel düz xətdir. Xətt oxdan yuxarıdadırsa, hər iki qolu kəsir: iki kəsişmə nöqtəsi, iki kök. Xətt oxun özündədirsə, yalnız ucuna toxunur: bir kök. Xətt oxdan aşağıdadırsa, qollara heç çatmır: kök yoxdur. Kökləri isə kəsişmə nöqtələrinin absisləri verir. Sizə sual. İks çıx on birin moduluna doqquz əlavə edəndə dörd alınır. Bu tənliyin kökü varmı? Əvvəlcə modulu tək saxlayın. Modulu tək saxlayaq: dörddən doqquzu çıxırıq, mənfi beş alınır. Deməli, iks çıx on birin modulu mənfi beşə bərabər olmalıdır. Məsafə mənfi ola bilməz, buna görə tənliyin kökü yoxdur. Bəs iks çıx on altının modulu sıfıra bərabər olsa? Məsafə sıfırdırsa, nöqtə elə on altının üstündədir. Yeganə kök on altıdır. Üçüncü fəsil: iki hal və şərt. Bəzən tənliyin sağ tərəfində ədəd yox, iks olur. Belə tənlikdə məsafə şəkli tək başına kömək etmir və modulun tərifi işə düşür. Modulun içindəki ifadə sıfırdan böyükdürsə və ya sıfıra bərabərdirsə, modul ifadənin özünə bərabərdir. İfadə mənfidirsə, modul ifadənin əksinə bərabərdir. Deməli, iki hal var və hər halın öz şərti var. Nümunəyə baxaq: iks çıx on ikinin modulu iksin iki mislinə bərabərdir. Birinci hal. Şərt belədir: iks çıx on iki ifadəsi sıfırdan böyükdür və ya sıfıra bərabərdir, yəni iks on ikiyə bərabərdir və ya on ikidən böyükdür. Bu halda modul açılanda ifadənin özü qalır: iks çıx on iki ifadəsi iksin iki mislinə bərabərdir. Buradan iks mənfi on iki alınır. İndi şərtə baxaq. Mənfi on iki on ikidən kiçikdir. Şərt ödənmir və bu ədədi atırıq. Başqa cür də yoxlamaq olar. İks mənfi on iki olsa, sağ tərəf, yəni iksin iki misli, mənfi iyirmi dörd olar. Modul isə sıfırdan kiçik ola bilməz. İkinci hal. Şərt belədir: iks çıx on iki ifadəsi mənfidir, yəni iks on ikidən kiçikdir. Bu halda modul ifadənin əksidir, yəni on iki çıx iks. Tənlik belə olur: on iki çıx iks ifadəsi iksin iki mislinə bərabərdir. Hər iki tərəfə iks əlavə edək. Solda on iki qalır, sağda iksin üç misli alınır. Üç misli on iki olan ədəd dörddür. Dörd ədədi on ikidən kiçikdir, şərt ödənir. Yoxlayaq. Dörd çıx on iki, mənfi səkkiz edir, modulu səkkizdir. Dördün iki misli də səkkizdir. Deməli, tənliyin bir kökü var: dörd. Qrafikdə bu belə görünür: iksin iki misli olan düz xətt başlanğıcdan yuxarı qalxır və bucağın yalnız sol qolunu kəsir. Hər halın şərti bir süzgəcdir. Tapılan ədədi süzgəcdən keçirmədən cavaba yazmırıq. Dördüncü fəsil: iki modul. İki ədədin modulları bərabərdirsə, ya bu ədədlər özləri bərabərdir, ya da əks ədədlərdir. Ədəd oxunda sıfırdan eyni məsafədə ya eyni nöqtə durur, ya da güzgüdəki kimi qarşı tərəfdəki nöqtə. Nümunə: iks üstəgəl yeddinin modulu, iksin iki misli üstəgəl ikinin moduluna bərabərdir. Buradan iki adi tənlik yazırıq. Birinci tənlik: ifadələr bərabərdir. İks üstəgəl yeddi ifadəsi iksin iki misli üstəgəl ikiyə bərabərdir. Buradan iks beşdir. İkinci tənlik: ifadələr əksdir. Sağ tərəfin işarəsini dəyişib hər şeyi bir tərəfə toplasaq, iksin üç misli mənfi doqquza bərabər olur. Deməli, iks mənfi üçdür. Yoxlayaq. İks beş olanda hər iki modulun içində on iki alınır. İks mənfi üç olanda içəridə dörd və mənfi dörd alınır, modulları isə bərabərdir. Tənliyin kökləri beş və mənfi üçdür. Burada şərt yazmağa ehtiyac olmadı, amma yoxlama həmişə faydalıdır. Beşinci fəsil: modulun içində kvadrat və modulun içində modul. Əvvəlcə kvadrat. İks kvadrat çıx on yeddinin modulu səkkizə bərabərdir. Sağda müsbət ədəd var, deməli modulun içi ya səkkizdir, ya da mənfi səkkiz. Birinci halda iks kvadrat iyirmi beşə bərabərdir. Buradan iks ya beşdir, ya da mənfi beş. İkinci halda iks kvadrat doqquza bərabərdir. Buradan iks ya üçdür, ya da mənfi üç. Dörd kök alındı! Hallardan birində iks kvadrat mənfi ədədə bərabər çıxsa, həmin hal kök vermir. İndi modulun içində modul. İksin modulundan bir çıxırıq və alınan ədədin modulunu götürürük. Nəticə beşdir. Belə tənliyi soğan kimi, qat-qat açırıq: əvvəlcə xarici modulu. Kökləri hansılardır? Fikirləşin. Xarici modulu açaq. İksin modulundan bir çıxanda ya beş alınmalıdır, ya da mənfi beş. Birinci halda iksin modulu altıdır, deməli iks ya altıdır, ya da mənfi altı. İkinci halda iksin modulu mənfi dördə bərabər olmalıdır. Amma iksin modulu da məsafədir və sıfırdan kiçik ola bilməz. Bu hal düşür. Tənliyin iki kökü var: altı və mənfi altı. Gəlin cığıra qayıdaq. Tofiq bir az düşünür və Fidanın səhər dediyi sözü xatırlayır: «Cığırın aşağı başından, birinci dirəkdən qalxacağam.» Deməli, Fidan aşağıdan gəlir və palıda hələ çatmayıb. Fidanın dirəyinin nömrəsi iyirmidən kiçikdir. Bu, bizim şərtimizdir! İki kökdən, on yeddi və iyirmi üçdən, şərti yalnız on yeddi ödəyir. Tofiq aşağı enir və on yeddinci dirəyin yanında Fidanı görür. Fidan açılmış ayaqqabı bağını bağlayır və gülümsəyir. Bu dərsdən bir fikir götürün. Modul məsafədir və istiqaməti unudur. Buna görə modullu tənlik çox vaxt iki namizəd verir. Hər halın öz şərti var və şərt doğru kökü saxlayır, artığını atır. Yolu yadda saxlayın: əvvəlcə modulu tək saxlayın və o biri tərəfə baxın. Sonra iki halı şərtləri ilə həll edin. Sonda hər kökü yoxlayın. Düşünmək üçün bir sual: iks çıx on səkkizin modulu iksə bərabərdir. Hansı halın şərti ödənir və tənliyin kökü nədir? Hesablamanın addımları oxu dərsində və videoda sizi gözləyir. Diqqətiniz üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!