Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi: finalın son sualı

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə günüdür, məktəbin akt zalı doludur. Səhnədə iki masa var, hər masanın üstündə bir zəng düyməsi. Bu gün məktəblərarası riyaziyyat yarışının finalıdır. Kalkulyatorlar və telefonlar qapının ağzında, səbətdə qalıb. Doqquzuncu sinif şagirdləri Sevda və Ülvi bir komandadadır. Hesab bərabərdir, zal səssizləşir və aparıcı son sualı oxumağa hazırlaşır. Kim düz cavab versə, kuboku da o aparacaq. Aparıcı yavaş-yavaş oxuyur: «Hansı ədəd böyükdür? Birinci ədəd: otuz yeddinin kub kökünün iki misli. İkinci ədəd: on birin kub kökünün üç misli. Vaxt başladı!» Ülvi pıçıldayır: «Asandır! İkini otuz yeddiyə vursaq, yetmiş dörd alınır. On bir ədədini üçə vursaq, otuz üç alınır. Birinci ədəd iki dəfədən də çox böyükdür!» Sevda isə başını yelləyir: «Dayan. İki kökün qarşısındadır, otuz yeddi isə kökün içindədir. Bu ədədlər fərqli yerlərdə dayanır.» Saat tıqqıldayır. Ülvinin hesabı doğrudurmu? Kökün qarşısındakı ədədi kökün içindəki ədədlə necə müqayisə etmək olar? Sevdanın bir fəndi var: o, kökün qarşısındakı vuruğu kökün içinə daxil edir. Bu dərsdə həmin fəndi öyrənəcəyik, finalın cavabını isə birlikdə tapacağıq. Salam! Bu gün vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsindən danışacağıq. Əvvəlcə vuruğun kök altına necə girdiyini və niyə qüvvətə yüksəldiyini görəcəyik. Sonra mənfi vuruğa baxacağıq: tək dərəcəli kökdə və cüt dərəcəli kökdə o, fərqli davranır. Ardınca bu fəndlə ədədləri müqayisə edəcəyik. Sonda kökün içindəki kökü sadələşdirəcəyik. Bir razılaşma da edək. «Otuz yeddinin kub kökünün iki misli» deyəndə kök yalnız otuz yeddinin üstündədir. İki isə kökün qarşısında dayanan vuruqdur. Birinci fəsil: kökün dili. Kök işarəsinin içinə ədəd sadəcə köçürülmür. Ədəd kökün dilinə tərcümə olunur. Kub kökün dilində iki — səkkiz deməkdir, çünki ikinin kubu səkkizdir. Yəni iki elə səkkizin kub köküdür. İndi qırx beşin kub kökünün iki mislinə baxaq. İkini səkkizin kub kökü kimi yazırıq. İki kub kökün hasili isə hasilin kub köküdür. Qırx beşin səkkiz misli üç yüz altmışdır. Nəticə: qırx beşin kub kökünün iki misli üç yüz altmışın kub köküdür. Bu, vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsidir. Qaydanı yavaş-yavaş, üç addımla deyək. Birinci addım: vuruğu kökün dərəcəsinə yüksəldin. Kub kökdə vuruq kuba yüksəlir, dördüncü dərəcədən kökdə isə dördüncü qüvvətə. İkinci addım: alınan ədədi kökaltı ədədə vurun. Üçüncü addım: kökün dərəcəsini eyni saxlayın. Bu qayda mənfi olmayan vuruq üçündür. Mənfi vuruğa bir azdan qayıdacağıq. İki tipik səhv var. Birincisi: vuruğu qüvvətə yüksəltmədən birbaşa kökaltı ədədə vurmaq. İkincisi: kvadrat kök vərdişi ilə vuruğu hər dəfə kvadrata yüksəltmək. Hər iki halda vuruq kökün dilinə səhv tərcümə olunur. Yoxlamanın asan yolu var: cavabı kökün dərəcəsinə yüksəldin. Üç yüz altmışın kub kökünü kuba yüksəldəndə üç yüz altmış alınır. Qırx beşin kub kökünün iki mislini kuba yüksəldəndə də qırx beşin səkkiz misli, yəni yenə üç yüz altmış alınır. Deməli, tərcümə düzdür. İndi növbə sizindir. Yenə iki və yenə qırx beş, amma bu dəfə dördüncü dərəcədən kök: qırx beşin dördüncü dərəcədən kökünün iki misli. Dördüncü dərəcədən kökün dilində iki nə deməkdir? Kök altında hansı ədəd alınacaq? Bir az fikirləşin. Cavab: ikinin dördüncü qüvvəti on altıdır. Qırx beşin on altı misli yeddi yüz iyirmidir. Deməli, qırx beşin dördüncü dərəcədən kökünün iki misli yeddi yüz iyirminin dördüncü dərəcədən köküdür. Gördünüz? Vuruq eyni idi, amma kökün dərəcəsi dəyişəndə tərcümə də dəyişdi. Kub kökdə iki səkkizə çevrilir, dördüncü dərəcədən kökdə isə on altıya. İkinci fəsil: tək dərəcə və mənfi vuruq. İndi kökün qarşısında mənfi vuruq dayansın: qırx beşin kub kökünün iki misli, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Mənfi ikini kub kökün dilinə tərcümə edək. Mənfi ikinin kubu mənfi səkkizdir, çünki mənfi ədədi üç dəfə özünə vuranda işarə mənfi olaraq qalır. Kub kökü sıfırdan kiçik ədədlərdən də almaq olar, bunu artıq bilirsiniz: mənfi səkkizin kub kökü mənfi ikidir. Sizcə, nəticə nə olacaq? Mənfi işarəsi hara düşəcək? Bir az fikirləşin. Cavab: mənfi üç yüz altmış ədədinin kub kökü. Mənfi işarəsi vuruqla birlikdə kökün içinə keçdi. Hər tək dərəcəli kökdə belədir: kub kökdə, beşinci dərəcədən kökdə, yeddinci dərəcədən kökdə. Tək dərəcə işarəni saxlayır. Buna görə istənilən vuruq, müsbət də, mənfi də, kökün içinə öz işarəsi ilə birlikdə girir. Üçüncü fəsil: cüt dərəcə və mənfi vuruq. İndi eyni mənfi ikini dördüncü dərəcədən kökün qarşısına qoyaq: qırx beşin dördüncü dərəcədən kökünün iki misli, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Mənfi ikinin dördüncü qüvvəti müsbət on altıdır. Cüt qüvvət işarəni silir. Mənfini də içəri salsaq, işarə yox olar və ədəd mənfidən müsbətə çevrilər. Bu səhvdir. Cüt dərəcəli kökün dilində sıfırdan kiçik ədəd üçün söz də yoxdur: cüt dərəcəli kök yalnız mənfi olmayan ədəddən alınır və həmişə mənfi olmayan ədəd verir. Çıxış yolu sadədir. Mənfi işarəsini kökün qarşısında saxlayırıq, kök altına isə yalnız müsbət iki girir. Dördüncü dərəcədən kökün dilində iki on altıdır. Kök altında qırx beşin on altı misli alınır, bu da yeddi yüz iyirmidir. Nəticə: yeddi yüz iyirminin dördüncü dərəcədən kökü, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Mənfi işarəsi kökün qarşısında qalır. İndi siz seçin. Bu ədədə baxın: ikinin kvadrat kökünün dörd misli, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Kvadrat kök də cüt dərəcəli kökdür. İki şagird iki cavab yazıb. Birinci cavab: mənfi otuz iki ədədinin kvadrat kökü. İkinci cavab: otuz ikinin kvadrat kökü, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Hansı cavab düzdür? Bir az fikirləşin. Cavab: ikinci. Birinci cavabda mənfi işarəsi kvadrat kökün içinə girib, belə kökün isə mənası yoxdur. İkinci cavabda dördün kvadratı, yəni on altı, kök altına girib. İkinin on altı misli otuz ikidir, mənfi işarəsi isə kökün qarşısında qalıb. Vuruq hərf olanda isə əvvəlcə hərfin işarəsini soruşun. Hərf mənfidirsə, cüt dərəcəli kökdə mənfi işarəsi kökün qarşısında qalır. Hərfli nümunələri oxu dərsində tapacaqsınız. Dördüncü fəsil: müqayisə. Gəlin akt zalına qayıdaq və təsəvvür edək ki, saat bizim üçün dayanıb. Sevda hər iki ədədi kök altına salır. Birinci ədəd: otuz yeddinin kub kökünün iki misli. Kub kökün dilində iki səkkizdir. Otuz yeddinin səkkiz misli iki yüz doxsan altıdır. Deməli, birinci ədəd iki yüz doxsan altının kub köküdür. İkinci ədəd: on birin kub kökünün üç misli. Kub kökün dilində üç iyirmi yeddidir. İndi siz hesablayın: on birin iyirmi yeddi misli nə qədərdir? Və hansı ədəd böyükdür? Bir az fikirləşin. Cavab: on birin iyirmi yeddi misli iki yüz doxsan yeddidir. Deməli, ikinci ədəd iki yüz doxsan yeddinin kub köküdür. İki kökün dərəcəsi eynidir, buna görə kökaltı ədədi böyük olan kök də böyükdür. İkinci ədəd qalib gəlir, kökaltı ədədlər isə cəmi bir vahid fərqlənir. Ülvinin yetmiş dörd və otuz üç hesabı səhv idi. O, kökün qarşısındakı ədədi kökün içindəki ədədə birbaşa vurmuşdu, sanki ikisi eyni dildə danışır. Müqayisədən əvvəl hər iki vuruğu eyni kökün dilinə tərcümə edin. İndi bir kökü tam ədədlə müqayisə edək. Hansı böyükdür: qırx üçün kub kökünün iki misli, yoxsa yeddi? Tam ədədi də kökün dilinə tərcümə etmək olar. Yeddinin kubu üç yüz qırx üçdür. Deməli, yeddi üç yüz qırx üçün kub köküdür. Qırx üçün kub kökünün iki mislini də kök altına salın və müqayisə edin. Bir az fikirləşin. Cavab: kub kökün dilində iki səkkizdir. Qırx üçün səkkiz misli üç yüz qırx dörddür. Üç yüz qırx dörd üç yüz qırx üçdən böyükdür. Deməli, qırx üçün kub kökünün iki misli yeddidən bir az böyükdür. Təxminlə tapmaq çətin idi, kök altına salmaq isə cavabı tez verdi. Beşinci fəsil: kökün içində kök. Final bitəndən sonra aparıcı bütün zala bonus sual verir. Burada iki kök var. İçəridə: on səkkizin kub kökünün iki misli. Bütün bu ədədin üstündə isə kvadrat kök. Sual belədir: bu ifadəni bir kök kimi necə yazmaq olar? Addım-addım gedək. Birinci addım: içəridəki ikini kub kökün altına salırıq. Kub kökün dilində iki səkkizdir. On səkkizin səkkiz misli yüz qırx dörddür. İçəridə yüz qırx dördün kub kökü qaldı. İkinci addım: kub kökdən kvadrat kök altıncı dərəcədən kökdür, çünki iki ilə üçün hasili altıdır. Deməli, ifadə yüz qırx dördün altıncı dərəcədən köküdür. Üçüncü addım: on ikinin kvadratı yüz qırx dörddür. Kökün dərəcəsini və qüvvət üstünü ikiyə bölürük. Nəticə: on ikinin kub kökü. Gəlin finala qayıdaq. Saatın son saniyəsində Sevda düyməni basır və deyir: «İkinci ədəd böyükdür: on birin kub kökünün üç misli.» Aparıcı başını tərpədir: «Düzdür!» Kubok Sevda ilə Ülvinin komandasına gedir. Ülvi gülür: «Mən ikini birbaşa otuz yeddiyə vurmuşdum. Sən isə əvvəlcə ikini kökün dilinə tərcümə etdin.» Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: vuruq kökün içinə kökün dilində girir, yəni kökün dərəcəsinə yüksəlib. Tək dərəcəli kökdə mənfi işarəsi də içəri keçir. Cüt dərəcəli kökdə mənfi işarəsi kökün qarşısında qalır. Müqayisə üçün hər vuruğu kök altına salın və kökləri eyni dərəcədə olan ədədlərin kökaltı ədədlərini müqayisə edin. Hərfli nümunələri və addım-addım hesablamaları oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Düşünmək üçün bir sual: dördün kub kökünün beş misli, yoxsa səkkiz — hansı böyükdür? İpucu: səkkizi də kub kökün dilinə tərcümə edin. Növbəti dərsdə görüşənədək!