Audio dərs · Müddət
18:00
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: avqustun son axşamıdır. Nabranda, dənizin lap yaxınlığında kiçik bir bağ evi var. Eyvanda lampa yanır, aşağıda dalğalar sahilə çırpılır. Doqquzuncu sinfə keçən Vəfa ilə əmisi oğlu Coşqun stolun arxasında köhnə bir oyun oynayırlar: «Dəniz döyüşü». Hərəsinin dama-dama dəftərində gizli gəmilər var. Növbə ilə atəş açırlar: «Vurdu!», «Yan keçdi!» Bir neçə raunddan sonra Coşqun dəftərin təzə vərəqini açır: «Gəl, oyunu çətinləşdirək. Vərəqə iki ox çəkirəm: üfüqi iks oxu və şaquli iqrek oxu. Gəmilərim yalnız xanaların küncündə, yəni koordinatları tam ədəd olan nöqtələrdə dayanır. Harada olduqlarını demirəm, sənə yalnız iki qayda verirəm. Birinci qayda: iqrek ilə iksin kvadratının cəmi səkkizə bərabərdir. İkinci qayda: iqrek iksdən altı vahid böyükdür. Gəmi yalnız hər iki qaydaya eyni anda tabe olan nöqtədə durur.» Vəfa qələmi götürür, amma tələsmir. Hər qaydaya ayrılıqda uyan nöqtə çoxdur, saysız-hesabsızdır. Gəmi isə ikisinə birdən uyan yerdədir. Coşqun gülümsəyir: «Növbəti raundda daha maraqlısı var. Bir parabola, bir də düz xətt verəcəyəm, gəmi isə üç olacaq.» Gəlin, Vəfa ilə birlikdə düşünək. Coşqunun gəmiləri neçədir və haradadır? Bir parabola ilə bir düz xətt üç gəmi gizlədə bilərmi? Salam! Bu dinləmə dərsində bir tənliyi birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan tənliklər sistemi ilə tanış olacağıq. Coşqunun iki qaydası elə belə bir sistemdir: birinci qaydanın qrafiki parabola, ikinci qaydanınkı isə düz xətdir. Belə sistemi qrafik üsulla həll edəcəyik: hər iki tənliyin qrafikini eyni koordinat müstəvisində qurub, onların ortaq nöqtələrini axtaracağıq. Dərs beş hissədən ibarətdir. Əvvəlcə Coşqunun gəmilərini tapacağıq, sonra həllərin sayını öyrənəcəyik. Üçüncü və dördüncü hissədə parabolanın yerinə çevrə və hiperbola gələcək. Sonda isə ən çox edilən səhvlərə baxacağıq. Qrafiki görməyəcəyik, buna görə hər əyrini sözlərlə, nöqtə-nöqtə quracağıq. Dəftər və qələm yanınızdadırsa, birlikdə çəkə də bilərik. Birinci hissə: həll ortaq nöqtədir. Keçən mövzudan xatırlayaq: ikidəyişənli tənliyin qrafiki koordinatları həmin tənliyi ödəyən bütün nöqtələrdən ibarətdir. Sistemin həlli isə hər iki tənliyi birdən ödəyən ədədlər cütüdür: əvvəl iks, sonra iqrek. Deməli, belə cüt həm birinci qrafikin, həm də ikinci qrafikin üzərində olan nöqtədir, yəni qrafiklərin kəsişmə nöqtəsidir. Birdərəcəli tənliyin qrafiki düz xətdir. İkidərəcəli tənliyin qrafiki isə parabola, çevrə, hiperbola və başqa əyrilər ola bilər. Coşqunun gəmiləri də elə kəsişmə nöqtələrində gizlənib. Əvvəlcə birinci qaydanın qrafikini quraq. İqrek ilə iksin kvadratının cəmi səkkizdirsə, iqrek səkkizdən iksin kvadratı qədər azdır. İks sıfır olanda iksin kvadratı da sıfırdır, iqrek isə səkkizdir: iksi sıfır, iqreki isə səkkiz olan nöqtə. Bu, ən yüksək nöqtədir, parabolanın təpəsidir. İks bir və ya mənfi bir olanda kvadrat birdir, iqrek yeddi olur. İks iki və ya mənfi iki olanda kvadrat dörddür, iqrek də dörd olur. İks üç və ya mənfi üç olanda kvadrat doqquzdur, iqrek isə mənfi birdir. Təsəvvür edin: zirvəsi yuxarıda, səkkiz hündürlüyündə olan, iki yamacı aşağı enən bir təpə. Təpə iqrek oxuna görə simmetrikdir. Budaqları aşağı yönəlmiş parabola belə görünür. İndi ikinci qayda: iqrek iksdən altı vahid böyükdür. Bunun qrafiki düz xətdir. İks sıfır olanda iqrek altıdır: iksi sıfır, iqreki isə altı olan nöqtə iqrek oxunun üstündədir. İks mənfi altı olanda iqrek sıfırdır: bu nöqtə iks oxunun üstündədir. Sağa doğru hər bir addımda xətt bir addım yuxarı qalxır. Deməli, xətt sol aşağıdan gəlir və sağa doğru dırmaşır. Xətt təpəni harada kəsir? Gəlin iks oxu boyunca addımlayaq və hər addımda iki hündürlüyü müqayisə edək. İks sıfır olanda təpənin hündürlüyü səkkiz, xəttin hündürlüyü altıdır: xətt təpənin altından, onun içindən keçir. İks bir olanda təpə yeddi, xətt də yeddi: hündürlüklər bərabərdir! İks iki olanda təpə dörd, xətt isə səkkizdir: xətt artıq təpədən yuxarıdadır. Deməli, sağ tərəfdə xətt təpəni iksi bir, iqreki isə yeddi olan nöqtədə kəsib çıxır. İndi sola gedək. İks mənfi bir olanda təpə yeddi, xətt beşdir: xətt hələ içəridədir. İks mənfi iki olanda təpə dörd, xətt də dörd: yenə bərabərdir! İks mənfi üç olanda təpə mənfi bir, xətt isə üçdür: xətt yenə yuxarıdadır. Sol tərəfdəki kəsişmə iksi mənfi iki, iqreki isə dörd olan nöqtədir. Qrafik bizə iki nöqtə göstərdi. Amma dərslik xəbərdarlıq edir: qrafik üsul həlləri müəyyən dəqiqliklə verir. Buna görə tapılan qiymətləri tənliklərdə yerinə yazıb yoxlayırıq. İksi bir, iqreki isə yeddi olan nöqtə. Birinci qayda: yeddi üstəgəl birin kvadratı, yəni yeddi üstəgəl bir, səkkiz alınır. Düzdür. İkinci qayda: bir üstəgəl altı, yeddi alınır. Bu da düzdür. İksi mənfi iki, iqreki isə dörd olan nöqtə. Mənfi ikinin kvadratı dörddür, dörd üstəgəl dörd səkkizə bərabərdir. Düzdür. Mənfi iki üstəgəl altı dördə bərabərdir. Bu da düzdür. Vəfa iki dəfə atəş açır və iki dəfə «Vurdu!» eşidir. Coşqunun iki gəmisi var idi, ikisi də batdı. Riyaziyyatın dili ilə desək: bu sistemin iki həlli var. İkinci hissə: həllər neçə ola bilər? Eyni təpəni saxlayaq, amma düz xətti dəyişək. Üfüqi düz xətt götürək: onun hər nöqtəsində iqrek yeddiyə bərabərdir. Bu xətt iks oxuna paraleldir və yeddi hündürlüyündə uzanır. Təpəni hansı nöqtələrdə kəsir? Təpənin hündürlüyü yeddi olanda iks ya bir, ya da mənfi birdir. Deməli, iki ortaq nöqtə var: iksi bir, iqreki isə yeddi olan nöqtə və iksi mənfi bir, iqreki isə yeddi olan nöqtə. Düz xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir. Sistemin iki həlli var. İndi xətti bir az qaldıraq: hər nöqtəsində iqrek səkkizdir. Bu hündürlükdə təpənin yalnız bir nöqtəsi var, zirvəsi: iksi sıfır, iqreki isə səkkiz olan nöqtə. Xətt təpəyə yalnız zirvədə toxunur, onun içinə girmir. Dərslik belə xətti parabolanın toxunanı adlandırır. Sistemin bir həlli var. İndi sıra sizdədir. Xətti daha da qaldıraq: hər nöqtəsində iqrek on birə bərabərdir. Belə sistemin neçə həlli var? Bir az düşünün. Cavab belədir: bu sistemin həlli yoxdur. Təpənin ən yüksək nöqtəsi səkkiz hündürlüyündədir. On bir hündürlüyündə uzanan xətt ona heç vaxt çatmır. Diqqət edin: budaqları aşağı yönəlmiş parabolada zirvədən yuxarıdakı üfüqi xətlə ortaq nöqtə olmur. Budaqları yuxarı yönəlmiş parabolada isə tərsinə: ən aşağı nöqtədən aşağıdakı xətt onunla görüşmür. Beləliklə, düz xətt ilə parabolanın ortaq nöqtəsi ya ikidir, ya birdir, ya da heç yoxdur. Üç ortaq nöqtə ola bilərmi? Cavabı sona saxlayaq, amma ipucu artıq buradadır. Üçüncü hissə: düz xətt və çevrə. İkidərəcəli tənliyin qrafiki çevrə də ola bilər. Çevrənin tənliyini əvvəlki mövzudan bilirsiniz: çevrənin istənilən nöqtəsindən mərkəzə qədər məsafənin kvadratı radiusun kvadratına bərabərdir. Bizim çevrənin mərkəzi iksi mənfi dörd, iqreki isə dörd olan nöqtədədir, radiusu isə ikidir. Mərkəzdən sağa, sola, yuxarı və aşağı iki vahid gedin, çevrənin dörd uc nöqtəsini alarsınız. Bu çevrə bütövlüklə müstəvinin yuxarı sol hissəsindədir: iksləri mənfi altı ilə mənfi iki arasında, iqrekləri isə iki ilə altı arasındadır. Düz xətt isə belədir: iks ilə iqrekin cəmi mənfi ikiyə bərabərdir. İks sıfır olanda iqrek mənfi ikidir, iqrek sıfır olanda iks mənfi ikidir. Sağa doğru hər addımda xətt bir addım aşağı enir, yəni sol yuxarıdan gəlib sağa aşağı düşür. Çevrənin uc nöqtələrini yoxlayaq. Ən sol nöqtə mərkəzdən iki vahid soldadır: iksi mənfi altı, iqreki isə dörd olan nöqtə. Mənfi altı üstəgəl dörd mənfi ikiyə bərabərdir, deməli, bu nöqtə xəttin üzərindədir! Ən aşağı nöqtə mərkəzdən iki vahid aşağıdadır: iksi mənfi dörd, iqreki isə iki olan nöqtə. Mənfi dörd üstəgəl iki də mənfi ikiyə bərabərdir. Bu nöqtə də xəttin üzərindədir. Xətt çevrəni sol nöqtəsində və aşağı nöqtəsində kəsir, arada isə çevrənin içindən keçir. Yenə yerinə yazıb yoxlayaq, bu dəfə çevrənin tənliyində. İksi mənfi altı, iqreki isə dörd olan nöqtə: iks ilə mərkəzin iksi arasındakı fərq iki vahiddir, onun kvadratı dörddür. İqrek ilə mərkəzin iqreki arasındakı fərq sıfırdır, kvadratı da sıfırdır. Dörd üstəgəl sıfır dördə bərabərdir, bu da radiusun kvadratıdır. Düzdür. İksi mənfi dörd, iqreki isə iki olan nöqtə: ikslər arasındakı fərq sıfır, iqreklər arasındakı fərq iki vahiddir, kvadratı dörd. Cəmi yenə dörddür. Düzdür. Xəttin qaydasını isə artıq yoxladıq. Bu sistemin də iki həlli var. Sizə sual. İks oxu, yəni hündürlüyü sıfır olan bütün nöqtələr, bu çevrə ilə neçə nöqtədə görüşür? Bir az düşünün. Cavab: heç birində görüşmür. Çevrənin ən aşağı nöqtəsi iki hündürlüyündədir, iks oxu isə sıfır hündürlüyündə, ondan aşağıda uzanır. Çevrə ilə düz xətt arasında da eyni üç hal var. Xətt çevrənin içindən keçirsə, iki ortaq nöqtə olur. Çevrəyə yalnız toxunursa, bir ortaq nöqtə olur. Ondan kənardan keçirsə, ortaq nöqtə olmur. Dördüncü hissə: düz xətt və hiperbola. Bu dəfə ikidərəcəli tənlik belədir: iks ilə iqrekin hasili mənfi səkkizə bərabərdir. Bu, səkkizinci sinifdən tanış olan tərs mütənasiblikdir, qrafiki hiperboladır. Hasil mənfidirsə, iks ilə iqrekin işarələri müxtəlifdir. Buna görə hiperbolanın iki ayrı budağı var. Bir budaq müstəvinin yuxarı sol hissəsindədir, orada iks mənfi, iqrek isə müsbətdir. Bu budaq iksi mənfi bir, iqreki isə səkkiz olan nöqtədən iksi mənfi dörd, iqreki isə iki olan nöqtəyə doğru enir. O biri budaq aşağı sağ hissədədir, orada iks müsbət, iqrek isə mənfidir. Bu budaq iksi bir, iqreki isə mənfi səkkiz olan nöqtədən iksi dörd, iqreki isə mənfi iki olan nöqtəyə doğru qalxır. Budaqlar oxlara getdikcə yaxınlaşır, amma onlara heç vaxt toxunmur. Düz xətt: iksin iki mislinə iqreki əlavə etsək, altı alınır. İks sıfır olanda iqrek altıdır, yəni bu xətt də Coşqunun xətti kimi iksi sıfır, iqreki isə altı olan nöqtədən keçir. Amma sağa doğru hər addımda iki addım aşağı enir. Xətt boyunca addımlayaq. İks mənfi bir olanda xəttin hündürlüyü səkkizdir. Hiperbolanın yuxarı sol budağında da iks mənfi bir olanda iqrek səkkizdir: ortaq nöqtə! İks dörd olanda xəttin hündürlüyü mənfi ikidir. Aşağı sağ budaqda da iks dörd olanda iqrek mənfi ikidir: ikinci ortaq nöqtə. Bu xətt hər budağı bir dəfə kəsir. Yoxlayaq. İksi mənfi bir, iqreki isə səkkiz olan nöqtə: mənfi bir vur səkkiz mənfi səkkizə bərabərdir. Düzdür. İksin iki misli mənfi ikidir, üstəgəl səkkiz, altı alınır. Düzdür. İksi dörd, iqreki isə mənfi iki olan nöqtə: dörd vur mənfi iki mənfi səkkizə bərabərdir. Düzdür. İksin iki misli səkkizdir, üstəgəl mənfi iki, altı alınır. Bu da düzdür. Sistemin iki həlli var. Hiperbola ilə də həllərin sayı dəyişə bilər. Məsələn, koordinat başlanğıcından keçib sağa doğru qalxan istənilən düz xətt yalnız yuxarı sağ və aşağı sol hissələrdən keçir. Bizim hiperbolanın budaqları isə o biri iki hissədədir. Belə xəttin hiperbola ilə ortaq nöqtəsi yoxdur, sistemin də həlli yoxdur. Beşinci hissə: tələlər. Birinci tələ yalnız bir qrafikin üzərində olan nöqtədir. Coşqunun təpəsinin zirvəsi, iksi sıfır, iqreki isə səkkiz olan nöqtə, çox gözə çarpır. Amma o, xəttin üzərində deyil: iks sıfır olanda xəttin hündürlüyü altıdır, səkkiz yox. Xəttin iqrek oxu ilə kəsişmə nöqtəsi, iksi sıfır, iqreki isə altı olan nöqtə də həll deyil: orada təpənin hündürlüyü səkkizdir. Həll yalnız hər iki qrafikin üzərində olan nöqtədir. İkinci tələ yeri dəyişmiş cütdür. Sizə sual: iksi səkkiz, iqreki isə mənfi bir olan nöqtə hiperbola ilə son düz xəttin sisteminin həllidirmi? Hər iki tənliyə yerinə yazıb yoxlayın. Cavab: bu nöqtə həll deyil. Səkkiz vur mənfi bir mənfi səkkizə bərabərdir, yəni nöqtə hiperbolanın üzərindədir. Amma iksin iki misli on altıdır, üstəgəl mənfi bir, on beş alınır, altı yox. Xətt bu nöqtədən keçmir. Bu nöqtə əsl həllin, iksi mənfi bir, iqreki isə səkkiz olan nöqtənin yeri dəyişmiş halıdır. Ədədlərin yeri dəyişəndə hasil dəyişmir, ona görə səhvi yalnız xətt tutur. Yadda saxlayın: cütdə əvvəl iks, sonra iqrek yazılır və hər cüt hər iki tənlikdə yoxlanır. Üçüncü tələ qrafikə həddindən artıq güvənməkdir. Bu gün bütün kəsişmələr xanaların küncünə düşdü. Həmişə belə olmur: bəzən kəsişmə iki xananın arasına düşür və koordinatları qrafikdən yalnız təxminən oxuya bilirik. Buna görə dərslik deyir ki, qrafik üsulla həllər müəyyən dəqiqliklə tapılır. Qrafik üsul həllərin sayı haqqında fikir söyləmək üçün xüsusilə əlverişlidir. Tapılan nöqtələri isə həmişə tənliklərdə yerinə yazıb yoxlayırıq. Həlləri dəqiq hesablamağın cəbri yollarını növbəti mövzuda öyrənəcəksiniz. Gəlin Nabrandakı eyvana qayıdaq. Vəfa Coşqunun iki gəmisini batırıb: iksi mənfi iki, iqreki isə dörd olan nöqtədə və iksi bir, iqreki isə yeddi olan nöqtədə. Coşqun vərəqi çevirir: «Növbəti raund: bir parabola, bir düz xətt və üç gəmi!» Vəfa gülür: «Belə oyun olmaz. Parabola bir tərəfə əyilib, düz xətt isə heç əyilmir. Xətt parabolanın içinə ən çoxu bir yerdən girib, bir yerdən çıxa bilər. Gəmi ya iki olacaq, ya bir, ya da heç olmayacaq.» Coşqun bir az fikirləşir: «Elə isə çevrə götürərəm.» Vəfa çiyinlərini çəkir: «Çevrə ilə də eynidir. Ən çoxu iki.» Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: tənliklər sisteminin həlli hər iki qrafikin ortaq nöqtəsidir. Qrafik üsulda hər iki qrafiki eyni koordinat müstəvisində qururuq, kəsişmə nöqtələrini tapırıq və onları hər iki tənlikdə yerinə yazıb yoxlayırıq. Düz xəttin parabola, çevrə və ya hiperbola ilə iki ortaq nöqtəsi, bir ortaq nöqtəsi ola bilər, ya da heç ortaq nöqtəsi olmaya bilər. Sistemin həllərinin sayı da buna görə dəyişir. Daha çox nümunə üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Düşünmək üçün isə bir sual: bugünkü çevrəyə hansı üfüqi düz xətlər yalnız toxunur? Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Növbəti dərsdə görüşənədək!