n-ci dərəcədən kök: itmiş zərlərin sirri

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə səhəridir. Şəhər kitabxanasının arxa otağında stolüstü oyunlar guşəsi var. Rəflərdə köhnə oyunlar düzülüb, otaqda yalnız vərəqlərin xışıltısı eşidilir. Doqquzuncu sinif şagirdləri Şəlalə və Ayxan rəfdən rəngi solmuş bir oyun götürürlər. İçində oyun lövhəsi, fişkalar və zərlər üçün kiçik parça kisə var. Amma kisə boşdur: zərlər itib. Şəlalə qaydalar kartını ucadan oxuyur: «Dörd rəngli zəri birlikdə atın. Mümkün nəticələrin sayı dörd min doxsan altıdır.» Kitabxanaçı yeni zərlər sifariş etməyə hazırdır, amma bir sualı var: hər zərin nə qədər üzü olmalıdır? Ayxan dərhal hesablayır: «Dörd min doxsan altını dörd zərə bölürük. Min iyirmi dörd üz!» Şəlalə gülür: «Min iyirmi dörd üzlü zər? O, zər yox, top olar.» Qonşu rəfdə başqa bir oyun da var. Onun kartında yazılıb: «Altı rəngli zəri birlikdə atın. Nəticələrin sayı yenə dörd min doxsan altıdır.» Eyni ədəd, amma zərlərin sayı başqadır. Bəs zərlər də başqa olmalıdır? Bu oyunda hər zərin nə qədər üzü var? Və Ayxanın bölməsi niyə səhvdir? Bu suallara bu gün birlikdə cavab tapacağıq. Salam! Bu gün n-ci dərəcədən kökdən danışacağıq. Əvvəlcə zərlərin nəticələrini sayıb kökün nə olduğunu tapacağıq. Sonra cüt və tək dərəcəni müqayisə edəcəyik. Ardınca kök işarəsinin hansı ədədi göstərdiyini öyrənəcəyik. Daha sonra qüvvətdən kök almağın tələsinə baxacağıq. Sonda tənlikləri həll edib kökü iki tam ədəd arasında yerləşdirəcəyik. Birinci fəsil: zərləri saymaq. Tutaq ki, hər zərin səkkiz üzü var. Bir zər atanda səkkiz nəticə ola bilər. İki zər atanda birinci zərin hər üzü ikinci zərin səkkiz üzündən biri ilə cüt yaradır, yəni nəticələr səkkiz dəfə artır. Üçüncü zər onları yenə səkkiz dəfə artırır, dördüncü zər də. Deməli, dörd zərin nəticələrinin sayı səkkizin dördüncü qüvvətidir. Səkkizi dörd dəfə özünə vurun: dörd min doxsan altı alınır. Tapmaca açıldı: hər zərin səkkiz üzü olmalıdır. İndi Ayxanın səhvini görək. Zərlərin sayına bölmək səhv yoldur. Zərin üz sayı özü-özünə vurulur, özü də zərlərin sayı qədər dəfə. Biz isə tərs yolla getdik. Nəticəni bildik və elə ədəd axtardıq ki, onu dörd dəfə özünə vuranda dörd min doxsan altı alınsın. Belə ədədin xüsusi adı var. Dördüncü qüvvəti dörd min doxsan altıya bərabər olan ədədə dörd min doxsan altının dördüncü dərəcədən kökü deyilir. Ümumi qayda belədir. Hansı ədədin n-ci qüvvəti a-ya bərabərdirsə, o ədəd a-nın n-ci dərəcədən köküdür. Burada n ikidən başlayan natural ədəddir. İkinci dərəcədən kökü artıq tanıyırsınız: bu, kvadrat kökdür. Üçüncü dərəcədən kökə isə kub kök deyilir. Bu n ədədinə dərslik kökün üstü, yəni kökün dərəcəsi deyir. Bizim hekayədə kökün üstü zərlərin sayıdır. İndi sıra sizdədir. Qonşu oyunda altı zər var və nəticələr yenə dörd min doxsan altıdır. Hansı ədədi altı dəfə özünə vuranda dörd min doxsan altı alınır? Başqa sözlə, dörd min doxsan altının altıncı dərəcədən kökü nədir? İpucu: kiçik ədədlərdən başlayın. Cavab: dörd. Dördü altı dəfə özünə vurun, dörd min doxsan altı alınır. Deməli, qonşu oyunun zərlərində dörd üz var. Belə zərlər kiçik piramida formasında olur. Diqqət edin: ədəd eynidir, kökün üstü fərqlidir, kök də fərqlidir. Dörd min doxsan altının dördüncü dərəcədən kökü səkkizdir. Dörd min doxsan altının altıncı dərəcədən kökü isə dörddür. Buna görə kökün üstünü həmişə ucadan deyin. İkinci fəsil: cüt və tək dərəcə. Zərin üz sayı həmişə müsbətdir. Amma riyaziyyatda mənfi ədədlər də var. Mənfi ədədi özünə vuranda işarə hər dəfə dəyişir. İki mənfi vuruq müsbət hasil verir. Üç mənfi vuruq yenə mənfi verir. Bunu geri dönməyə bənzədin. Hər mənfi vuruq sizi geri döndürür. İki dəfə dönsəniz, yenə əvvəlki istiqamətə baxırsınız. Üç dəfə dönsəniz, arxaya baxırsınız. Bu bənzətmə yalnız işarə haqqındadır. Buradan maraqlı nəticə çıxır. Səkkizi dörd dəfə özünə vursanız, dörd min doxsan altı alınır. İndi mənfi səkkizi dörd dəfə özünə vurun. Dörd dəfə dönmək cüt sayda dönməkdir, ona görə yenə dörd min doxsan altı alınır. Deməli, bu ədədin dördüncü dərəcədən iki kökü var: səkkiz və mənfi səkkiz. Bu iki ədəd qarşılıqlı əks ədədlərdir. Bəs mənfi dörd min doxsan altı? İstənilən ədədin dördüncü qüvvəti ya müsbətdir, ya da sıfır. Buna görə mənfi ədədlərin cüt dərəcədən kökü yoxdur. Sıfırın isə istənilən dərəcədən yeganə kökü sıfırdır. Tək dərəcədə mənzərə başqadır. Səkkiz minin kub kökü iyirmidir. Yoxlayaq: iyirmini üç dəfə özünə vursanız, səkkiz min alınır. Mənfi səkkiz minin kub kökü isə mənfi iyirmidir. Üç dəfə dönəndə mənfi işarə yerində qalır. Tək dərəcədən kök hər ədəd üçün var və yeganədir. Kökün işarəsi də ədədin öz işarəsi ilə eynidir. Bu fikri bir cümlədə yadda saxlayın: cüt üst işarəni gizlədir, tək üst işarəni saxlayır. Cüt dərəcədə müsbət ədədin iki kökü var, mənfi ədədin isə kökü yoxdur. Tək dərəcədə hər ədədin bir kökü var və o kök ədədlə eyni işarəlidir. Kiçik bir yoxlama. Birinci sual: ədəd mənfi üç min yüz iyirmi beşdir, kökün üstü isə beşdir. Kök nədir? İkinci sual: ədəd mənfi yeddidir, kökün üstü isə altıdır. Kök nədir? Əvvəlcə kökün üstünə baxın: tək, yoxsa cüt? Birinci sualda kökün üstü beşdir, tək ədəddir, işarə saxlanır. Beşin beşinci qüvvəti üç min yüz iyirmi beşdir. Deməli, cavab mənfi beşdir. İkinci sualda kökün üstü altıdır, cüt ədəddir. İstənilən ədədin altıncı qüvvəti ya müsbətdir, ya da sıfır. Buna görə mənfi yeddinin altıncı dərəcədən kökü yoxdur. Üçüncü fəsil: kök işarəsi nəyi göstərir. Cüt dərəcədə müsbət ədədin iki kökü var. Amma yazıda bir ifadə yalnız bir ədədi göstərməlidir. Buna görə riyaziyyatçılar razılaşıblar. Mənfi olmayan ədədin n-ci dərəcədən mənfi olmayan kökünə hesabi kök deyilir. Kök işarəsi məhz hesabi kökü göstərir. İşarəni sözlə təsvir edək. Bu, kvadrat kökdən tanıdığınız qarmaqlı işarədir, ədədin üstündən isə xətt keçir. Xəttin altındakı ifadəyə kökaltı ifadə deyilir. Qarmağın üstündə kiçik bir rəqəm yazılır: bu, kökün üstüdür. Kvadrat kökdə iki rəqəmi yazılmır. Belə yazını «a-nın n-ci dərəcədən kökü» kimi oxuyuruq. Məsələn, işarə ilə yazılan dörd min doxsan altının dördüncü dərəcədən kökü yalnız səkkizdir. Mənfi səkkizi yazmaq lazım olsa, işarənin qarşısına mənfi qoyulur. Tək dərəcədə kökaltı ifadə mənfi olsa da, işarə mənalıdır. Mənfi səkkiz minin kub kökü mənfi iyirmidir. Bunu belə də demək olar: səkkiz minin kub kökünü götürüb qarşısına mənfi qoyuruq. Bir şey də vacibdir: kök və qüvvət bir-birini geri qaytarır. Kökü tapıb onu həmin dərəcəyə yüksəltsəniz, əvvəlki ədəd geri gəlir. Səkkizi yenidən dördüncü qüvvətə yüksəldin, yenə dörd min doxsan altı alınır. Dördüncü fəsil: qüvvətdən kök. Ayxan yeni hiylə fikirləşir. Mənfi səkkizi götürür və dördüncü qüvvətə yüksəldir. Dörd min doxsan altı alınır. Sonra bu ədəddən dördüncü dərəcədən kök alır və mənfi səkkizin geri qayıtmasını gözləyir. Amma kök işarəsi ona müsbət səkkiz verir. Niyə belə oldu? Cüt üst işarəni gizlətdi. Dördüncü qüvvət mənfi səkkizi də, səkkizi də eyni ədədə apardı, kök işarəsi isə yalnız mənfi olmayan kökü göstərir. Deməli, cüt dərəcədə qüvvətdən kök ədədin modulunu verir, yəni onun sıfırdan uzaqlığını. Tək dərəcədə isə işarə saxlanır. Mənfi səkkizi beşinci qüvvətə yüksəldib beşinci dərəcədən kök alsanız, mənfi səkkiz geri qayıdır. Özünüz yoxlayın. Mənfi on ikini altıncı qüvvətə yüksəldirik, sonra altıncı dərəcədən kök alırıq. Nə alınır? Bəs dərəcə yeddi olsa? Mənfi on ikini yeddinci qüvvətə yüksəldib yeddinci dərəcədən kök alsaq, nə alınar? Altıncı dərəcə cütdür, işarə gizlənir: müsbət on iki alınır. Yeddinci dərəcə təkdir, işarə qalır: mənfi on iki alınır. Beşinci fəsil: tənliklər və təxmin. İksin n-ci qüvvəti a-ya bərabərdir tənliyi eyni sualı soruşur: hansı ədəd? Üç nümunəyə baxaq. İksin yeddinci qüvvəti mənfi birə bərabərdir. Dərəcə təkdir, kök yeganədir: iks mənfi birdir. İksin dördüncü qüvvəti dörd min doxsan altıya bərabərdir. Dərəcə cütdür, iki kök var: səkkiz və mənfi səkkiz. Şəlalənin kartı elə bu tənlikdir. Zərlər üçün isə yalnız müsbət səkkiz yararlıdır. Üçüncü tənlikdə iksin altıncı qüvvəti mənfi beşdir. Dərəcə cütdür, sağ tərəf mənfidir: bu tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Rəfdə üçüncü oyun da tapılır. Onun kartında yazılıb: «Üç zər, yüz nəticə.» Şəlalə şübhələnir. Yüzün kub kökü nə qədərdir? Dördün kubu altmış dörddür, bu, yüzdən azdır. Beşin kubu yüz iyirmi beşdir, bu, yüzdən çoxdur. Böyük ədədin kub kökü də böyükdür. Deməli, yüzün kub kökü dörd ilə beş arasında yerləşir. Zərin üzlərinin sayı isə tam ədəd olmalıdır. Bu kartda çap səhvi var. Gəlin kitabxanaya qayıdaq. Şəlalə sifariş vərəqəsinə yazır: birinci oyuna dörd zər lazımdır, üzlərinin sayı səkkiz olsun. Qonşu oyuna altı kiçik piramida lazımdır, üzlərinin sayı dörd olsun. Ayxan da səhvini başa düşüb: bölmə səhv yol idi. Zərin üz sayı zərlərin sayı qədər dəfə özünə vurulur. Nəticədən zərə qayıtmaq üçün kök lazımdır, özü də düz zərlərin sayı qədər dərəcədən. Dörd min doxsan altının dördüncü dərəcədən kökü səkkizdir, altıncı dərəcədən kökü isə dörddür. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: kökün üstü ədədin özünə nə qədər dəfə vurulduğunu deyir. Cüt üst işarəni gizlədir: müsbət ədədin iki kökü var, mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur, kök işarəsi isə mənfi olmayan kökü göstərir. Tək üst işarəni saxlayır: kök həmişə var və yeganədir. Addım-addım hesablamaları oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Düşünmək üçün bir sual: kartda «üç zər, səkkiz min nəticə» yazılsaydı, hər zərin nə qədər üzü olardı? İpucu: bu ədədi bu gün artıq eşitmisiniz. Növbəti dərsdə görüşənədək!