Audio dərs · Müddət
14:08
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: cümə günü, dərslər çoxdan bitib. Məktəbin biologiya kabinetində yalnız inkubatorun sakit uğultusu eşidilir. Doqquzuncu sinif şagirdləri Nailə və Turan elm yarmarkası üçün layihə hazırlayırlar. İnkubatorun rəfində iki şüşə qab var. Birinin qapağında «Alfa», o birinin qapağında «Beta» yazılıb. Hər qabda zərərsiz bakteriya koloniyası böyüyür. Nailə mikroskopla hüceyrələri sayır və nəticələri dəftərə yazır. Alfa koloniyası iki saatda on dəfə artıb. Beta isə üç saatda otuz dəfə artıb. Turan dəftərə baxıb dərhal qərar verir: «Otuz ondan üç dəfə çoxdur. Deməli, Beta daha sürətli böyüyür. Qalib Beta olacaq!» Nailə başını yelləyir: «Bir dəqiqə. Alfa iki saat böyüyüb, Beta isə üç saat. Bizə bir saatlıq artım lazımdır. Tutaq ki, koloniya hər saat eyni dəfə artır. Alfanın saatlıq artımının kvadratı on olmalıdır. Yəni bu artım on ədədinin kvadrat köküdür. Betanın saatlıq artımının kubu otuz olmalıdır. Yəni bu artım otuzun kub köküdür.» Turan çiyinlərini çəkir: «Yenə də Beta qalib gəlir, çünki otuz on ədədindən böyükdür.» Bəs siz necə düşünürsünüz? Kvadrat kökü kub kök ilə belə, birbaşa müqayisə etmək olarmı? Hansı koloniya hər saatda daha çox artır? Cavab sizi təəccübləndirə bilər. Salam! Bu dinləmə dərsində istənilən dərəcədən kökün xassələri ilə tanış olacağıq. Əvvəlcə kiçik bir xatırlatma. Bir ədədin, məsələn, dördüncü dərəcədən kökü elə ədəddir ki, dördüncü qüvvəti ilk ədədə bərabərdir. Kök işarəsinin üstündəki kiçik rəqəm kökün üstü, yəni dərəcəsidir. Kvadrat kökün dərəcəsi iki, kub kökün dərəcəsi isə üçdür. Bu gün beş xassə öyrənəcəyik. Hər xassəni qısa bir qayda kimi deyəcəyəm. Sonra sizə bir nümunə verəcəyəm: onu ağlınızda həll edin. Bir az fasilə olacaq, sonra cavabı birlikdə yoxlayacağıq. Ən sonda isə Alfa ilə Betanın yarışını da həll edəcəyik. Birinci fəsil: hasilin kökü. Altmış dörd minin kub kökünü tapmaq istəyirik. Bu ədəd böyükdür, amma bu ədədi iki rahat vuruğa ayırmaq olar: altmış dörd ilə minin hasili. Altmış dördün kub kökü dörd edir. Minin kub kökü on edir. Dördü on ədədinə vuranda qırx alınır. Deməli, altmış dörd minin kub kökü qırxa bərabərdir. Bu, birinci xassədir. Qayda belədir: hasilin kökü köklərin hasilinə bərabərdir, kökün dərəcəsi isə eyni qalır. Bu qaydanı tərsinə də oxumaq olar. Dərəcələri eyni olan kökləri vurmaq üçün kökaltı ədədləri vururuq, dərəcəni isə saxlayırıq. İndi sıra sizdədir. Üçün kub kökünü yetmiş ikinin kub kökünə vurun. Ayrılıqda bu köklərin hər biri uzun, sonsuz kəsrdir. Bəs bu iki kökün hasili nə qədərdir? Bir az fikirləşin. Hər iki kökü bir kub kökün altına yığaq. Üç ilə yetmiş ikinin hasili iki yüz on altı edir. Altının kubu da iki yüz on altıya bərabərdir. Cavab: altı. İki çətin kök birlikdə tam ədəd verdi. Bu qaydanın bir şərti var. Dərslikdə o, mənfi olmayan vuruqlar üçün yazılıb. Səbəb sadədir: cüt dərəcədən kök, məsələn kvadrat kök və ya dördüncü dərəcədən kök, yalnız mənfi olmayan ədəddən alınır. Tək dərəcədə vəziyyət başqadır. Kub kök mənfi ədəddən də alınır, və burada qayda mənfi vuruqlar üçün də doğrudur. Məsələn, mənfi üç ədədinin kub kökünü mənfi doqquz ədədinin kub kökünə vuraq. Hər iki kök mənfi ədəddir, onların hasili isə müsbətdir. Kökaltı ədədləri vuraq: mənfi üç ilə mənfi doqquzun hasili iyirmi yeddiyə bərabərdir. Bu müsbət ədədin kub kökü üçə bərabərdir. Hasil, doğrudan da, müsbət üç oldu. İkinci fəsil: nisbətin kökü. Kəsrin kökünü almaq üçün surətin və məxrəcin köklərini ayrıca tapıb bir-birinə bölürük. Dərəcə yenə eyni qalır. Şərt belədir: surət mənfi olmayan ədəd, məxrəc isə müsbət ədəd olmalıdır, çünki bölmə yalnız sıfırdan fərqli ədədə aparılır. Nümunə: on altının on minə nisbətindən dördüncü dərəcədən kök alaq. On altının dördüncü dərəcədən kökü ikiyə bərabərdir. On minin dördüncü dərəcədən kökü isə on ədədinə bərabərdir. Nəticə: iki bölünsün on, yəni beşdə bir. Bu qayda da tərsinə işləyir: dərəcələri eyni olan kökləri bölmək üçün kökaltı ədədləri bölürük. Sizə sual: yüz altmışın kub kökünü iyirminin kub kökünə bölün. Nəticə nə qədərdir? Kökaltı ədədləri bölək: yüz altmışı iyirmiyə bölsək, səkkiz alınır. Səkkizin kub kökü iki edir. Cavab: iki. Üçüncü fəsil: kökün qüvvəti. Biologiya kabinetinə qayıdaq. Betanın bir saatlıq artımı otuzun kub köküdür. Bəs iki saatlıq artımı nə qədərdir? İki saatda bu artım iki dəfə təkrarlanır, yəni otuzun kub kökü kvadrata yüksəlir. Birinci xassəyə görə, otuzun kub kökünü yenə otuzun kub kökünə vursaq, otuzun otuza hasilinin kub kökü alınır, yəni doqquz yüzün kub kökü. Qayda belədir: kökü qüvvətə yüksəltmək üçün kökaltı ədədi həmin qüvvətə yüksəldirik, kökün dərəcəsini isə saxlayırıq. Sizə sual: on ədədinin kub kökünü altıncı qüvvətə yüksəldin. Nə alınır? Kökaltı ədədi altıncı qüvvətə yüksəldək: on ədədinin altıncı qüvvəti bir milyon edir. Bir milyonun kub kökü yüzə bərabərdir, çünki yüzün kubu bir milyondur. Cavab: yüz. Dördüncü fəsil: kökdən kök. Fərz edək ki, Beta altı saat böyüyüb. Hər üç saatda o, otuz dəfə artır. Altı saatda isə otuzun otuza hasili qədər, yəni doqquz yüz dəfə artır. İndi altı saatlıq artımdan bir saatlıq artıma qayıdaq. Əvvəlcə üç saatlıq artımı tapırıq: doqquz yüzün kvadrat kökü otuz edir. Sonra bir saatlıq artımı tapırıq: otuzun kub kökü. Deməli, bir saatlıq artım doqquz yüzün kvadrat kökündən alınan kub kökdür. Bu isə doqquz yüzün altıncı dərəcədən köküdür. Altı saat, altıncı dərəcə. Qayda belədir: kökdən kök almaq üçün kökaltı ədəd saxlanılır, köklərin dərəcələri isə vurulur. İki vurulsun üç, altı alınır. Dərəcələri toplamaq səhv yoldur. Sizə sual: beş yüz on iki ədədinin kub kökündən yenə kub kök alın. Nəticə nə qədərdir? Addım-addım gedək. Beş yüz on iki ədədinin kub kökü səkkiz edir. Səkkizin kub kökü iki edir. Qayda ilə də eyni nəticə alınır: üç vurulsun üç, doqquz alınır, yəni beş yüz on iki ədədinin doqquzuncu dərəcədən kökü. İkinin doqquzuncu qüvvəti beş yüz on ikiyə bərabərdir. Cavab: iki. Beşinci fəsil: kökün dərəcəsini dəyişmək. İndi Alfaya baxaq. Alfa hər iki saatda on dəfə artır. Altı saatda bu artım üç dəfə təkrarlanır, və Alfa on ədədinin kubu qədər, yəni min dəfə artır. Deməli, Alfanın bir saatlıq artımı minin altıncı dərəcədən köküdür. Amma əvvəldən bilirik ki, bu artım on ədədinin kvadrat köküdür. Belə çıxır ki, minin altıncı dərəcədən kökü on ədədinin kvadrat kökünə bərabərdir. Səbəbi budur: min ədədi on ədədinin kubudur. Kökün dərəcəsini, altını, və qüvvət üstünü, üçü, eyni ədədə, üçə bölək. On ədədinin kvadrat kökü alınır. Qayda belədir: kökün dərəcəsini və kökaltı ifadənin qüvvət üstünü eyni natural ədədə vursaq və ya bölsək, kökün qiyməti eyni qalır. Bu qayda mənfi olmayan kökaltı ifadələr üçün yazılıb. Sizə sual. İnkubatorda üçüncü qab da var, adı Qamma. Qamma dörd saat böyüyüb və bu müddətdə yüz dəfə artıb. Qammanın bir saatlıq artımı yüz ədədinin dördüncü dərəcədən köküdür. Bu kökü daha sadə yazın və Qammanı Alfa ilə müqayisə edin. Yüz ədədi on ədədinin kvadratıdır. Kökün dərəcəsini, dördü, və qüvvət üstünü, ikini, ikiyə bölək. On ədədinin kvadrat kökü alınır. Bu, Alfanın saatlıq artımı ilə eynidir. Deməli, Qamma ilə Alfa eyni sürətlə böyüyür. Yoxlayaq: dörd saatda Alfa iki dəfə on dəfə artır, yəni yüz dəfə. Altıncı fəsil: köklər eyni dərəcəyə gətirilir. Nəhayət, Alfa ilə Betanı müqayisə edə bilərik. Alfanın saatlıq artımı on ədədinin kvadrat köküdür. Bu kökü altıncı dərəcəyə gətirək: dərəcəni də, qüvvət üstünü də üçə vururuq və minin altıncı dərəcədən kökü alınır. Betanın saatlıq artımı otuzun kub köküdür. Burada dərəcəni də, qüvvət üstünü də ikiyə vururuq və doqquz yüzün altıncı dərəcədən kökü alınır. İndi hər iki kökün dərəcəsi eynidir: altı. Dərəcələr eyni olanda kökaltı ədədi böyük olan kök də böyükdür. Min ədədi doqquz yüzdən böyükdür. Deməli, Alfa daha sürətli böyüyür! Sözlə desək: altı saatda Alfa min dəfə, Beta isə doqquz yüz dəfə artır. Qayda belədir: dərəcələri fərqli olan kökləri müqayisə etmək və ya vurmaq üçün əvvəlcə onları eyni dərəcəyə gətiririk. Ortaq dərəcə hər iki dərəcəyə bölünən ədəddir; adətən onların ən kiçik ortaq bölünəni götürülür. İki ilə üçün ən kiçik ortaq bölünəni altıdır. Vurmaya da bir nümunə. İkinin kub kökünü on altının altıncı dərəcədən kökünə vuraq. İkinin kub kökü dördün altıncı dərəcədən kökünə bərabərdir. İndi dərəcələr eynidir. Dördü on altıya vuranda altmış dörd alınır. Altmış dördün altıncı dərəcədən kökü iki edir. Son sual sizə. Birinci kök: on ədədinin dördüncü dərəcədən kökü. İkinci kök: otuz bir ədədinin altıncı dərəcədən kökü. Hansı kök böyükdür? İpucu: dörd ilə altının ən kiçik ortaq bölünəni on ikidir. Hər iki kökü on ikinci dərəcəyə gətirək. On ədədinin dördüncü dərəcədən kökündə dərəcəni də, qüvvət üstünü də üçə vururuq: minin on ikinci dərəcədən kökü alınır. Otuz birin altıncı dərəcədən kökündə ikiyə vururuq. Otuz birin kvadratı doqquz yüz altmış bir edir, deməli, doqquz yüz altmış birin on ikinci dərəcədən kökü alınır. Min böyükdür. Cavab: on ədədinin dördüncü dərəcədən kökü böyükdür, amma çox az fərqlə. Gəlin biologiya kabinetinə qayıdaq. Növbəti gün Nailə və Turan təcrübəni təkrarlayırlar. Bu dəfə hər iki koloniyanı eyni vaxtda, düz altı saat izləyirlər. Nailə hüceyrələri sayır: Alfa min dəfə artıb, Beta isə doqquz yüz dəfə. Turan gülür: «Mən yalnız on və otuz ədədlərinə baxırdım. Dərəcələri unutmuşdum!» Alfa saatda on ədədinin kvadrat kökü qədər artır, Beta isə otuzun kub kökü qədər. Bu iki kök bir-birinə çox yaxındır, amma onları eyni dərəcəyə gətirəndə fərq aydın görünür. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: kök həmişə öz dərəcəsi ilə birlikdə oxunur. Beş qaydanı bir də xatırlayaq. Hasilin kökü köklərin hasilinə bərabərdir. Nisbətin kökü köklərin nisbətinə bərabərdir. Kökün qüvvəti kökaltı ədədin qüvvətinin köküdür. Kökdən kök alanda dərəcələr vurulur. Kökün dərəcəsini və qüvvət üstünü eyni ədədə vurmaq və ya bölmək kökün qiymətini saxlayır. Dərəcələri fərqli kökləri isə müqayisə etmək üçün ortaq dərəcəyə gətiririk. Yazılı nümunələr və addım-addım həllər oxu dərsində və videodadır. Növbəti dərsdə vuruğu kök işarəsinin altından çıxarmağı öyrənəcəyik. Düşünmək üçün sual: altı saatda min iki yüz dəfə artan koloniya Alfanı ötə bilərmi? Növbəti dərsə qədər, sağ olun!