Audio dərs · Müddət
13:25
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: şənbə axşamıdır. Qapalı mini-futbol meydançasında işıqlar yanır, kimsə topu divara vurur və səs bütün zalda əks-səda verir. Doqquzuncu sinif şagirdi Səməd bu axşam qapıçıdır, amma oyun hələ başlamayıb: komandanın yarısı yoldadır. Səməd skamyada oturub, dizinin üstündə riyaziyyat dəftəri var. Sinif yoldaşı Fuad bu axşam hakimdir, fiti boynundan asılıb. Səməd ev tapşırığındakı tənliyi həll edib. Solda iks bölü iks çıx iki var, yəni surəti iks, məxrəci iks çıx iki olan kəsr. Sağda səkkiz bölü iks kvadrat çıx dörd. Səməd iki cavab tapıb: mənfi dörd və iki. «Fuad, bir yoxla», deyir. Fuad əvvəl mənfi dördü yerinə qoyur. Solda mənfi dörd bölü mənfi altı alınır, bu da üçdə ikidir. Sağda səkkiz bölü on iki, yenə üçdə iki. «Qol!» deyir Fuad. Sonra ikini yerinə qoyur. Sol kəsrin məxrəci iki çıx iki olur, yəni sıfır. Fuad fit çalır: «Ofsayd! Bu qol sayılmır. Sıfıra bölmək olmaz.» Səməd çaşıb qalır: «Amma mən heç yerdə səhv etməmişəm. Hər addımı iki dəfə yoxlamışam. Bəs bu iki haradan çıxdı?» Siz necə düşünürsünüz? Hesablama düzgündürsə, artıq kök haradan gəlir? Və onu yerinə qoymadan necə tanımaq olar? Salam! Bu dinləmə dərsində rasional tənliklərdən danışacağıq, yəni məxrəcində dəyişən olan tənliklərdən. Beş fəsil var. Əvvəl yasaq qiymətləri tanıyacağıq. Sonra dərsliyin dörd addımı ilə Səmədin ofsayd kökünün sirrini açacağıq. Daha sonra tənasüb və yeni dəyişən gələcək, sonda isə meydançanın pulu haqqında bir məsələni tənliyə çevirəcəyik. Hər fikirdən sonra sizə sual verəcəyəm: fasilədə özünüz düşünün, sonra birlikdə yoxlayarıq. Birinci fəsil: məxrəc sıfır ola bilməz. Dərslik belə deyir: tənliyin sağ və sol tərəfindəki ifadələr rasional ifadələrdirsə, belə tənliyə rasional tənlik deyilir. Bizim üçün əsas odur ki, belə tənlikdə kəsrlər var və iks məxrəcdə də dayana bilər. Kəsrləri həmişə eyni cür oxuyacağam: əvvəl surət, sonra «bölü» sözü, sonra məxrəc. Məsələn, iks bölü iks çıx iki: surət iksdir, məxrəc iks çıx iki. Sıfıra bölmək olmaz, buna görə hər rasional tənliyin yasaq siyahısı var: iksin ala bilmədiyi qiymətlər. Qalan qiymətlərə dərslik dəyişənin mümkün qiymətləri deyir, qısaca DMQ. Səmədin tənliyində birinci məxrəc iks çıx ikidir. Deməli, iks ikiyə bərabər ola bilməz. İkinci məxrəc iks kvadrat çıx dörddür. Burada çoxları tələsir. Bu məxrəc iks kvadrat dördə bərabər olanda sıfırlanır, iks kvadrat isə iki halda dördə bərabərdir: iks iki olanda və iks mənfi iki olanda. Deməli, siyahıda iki qadağa var. Birinci: iks ikiyə bərabər ola bilməz. İkinci: iks mənfi ikiyə bərabər ola bilməz. İkinci sıfırı unutmaq ən çox rast gəlinən səhvdir. İndi siz yoxlayın. Bir tənlikdə iki kəsr var. Birinci kəsrin məxrəci iksdir, ikincinin məxrəci iks kvadrat çıx bir. İks hansı qiymətləri ala bilməz? Bir az düşünün. Cavab: üç qadağa. Birinci məxrəcə görə iks sıfıra bərabər ola bilməz. İkinci məxrəc iks kvadrat birə bərabər olanda sıfırlanır: iks birə bərabər ola bilməz, mənfi birə də bərabər ola bilməz. Bu siyahını tənliyi həll etməzdən əvvəl yazın. Bir azdan görəcəyik ki, ofsayd kökünü məhz o tutur. İkinci fəsil: dörd addım və ofsayd kökü. Dərslik rasional tənliyi dörd addımla həll etməyi öyrədir. Birinci: dəyişənin mümkün qiymətləri müəyyən edilir. İkinci: kəsrlər ortaq məxrəcə gətirilir. Üçüncü: tənliyin hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vurulur və alınan tənlik həll edilir. Dördüncü: yoxlama aparılır və cavab yazılır. Gəlin bu addımlarla Səmədin tənliyinə qayıdaq. Birinci addımı artıq atdıq: yasaq qiymətlər iki və mənfi ikidir. İkinci addım: ortaq məxrəc. İks kvadrat çıx dörd iki mötərizənin hasilidir: iks çıx iki ilə iks üstəgəl ikinin hasili. Deməli, ortaq məxrəc elə iks kvadrat çıx dörddür, və sol kəsrin həm surətini, həm də məxrəcini iks üstəgəl ikiyə vururuq. Üçüncü addım: hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vururuq və kəsrlər yox olur. Solda iks ilə iks üstəgəl ikinin hasili qalır, sağda isə səkkiz. Yəni elə ədəd axtarırıq ki, onu özündən iki vahid böyük ədədə vuranda səkkiz alınsın. Bu, kvadrat tənlikdir və onun iki kökü var. Biri ikidir: iki vur dörd səkkizə bərabərdir. O biri mənfi dörddür: mənfi dörd vur mənfi iki də səkkizə bərabərdir. Səməd də məhz bu iki ədədi tapmışdı. İndi dördüncü addım: yoxlama. Bunun üçün ədədləri yerinə qoymaq belə lazım deyil, yasaq siyahısına baxmaq kifayətdir. Mənfi dörd siyahıda yoxdur, deməli, kökdür. Bəs iki? İki siyahının ilk sətrindədir. İks ikiyə bərabər ola bilməz! Bu, Fuadın ofsaydıdır: top tora girib, amma qol sayılmır. Dərslik belə ədəd haqqında deyir: DMQ şərtini ödəmədiyi üçün tənliyin kökü ola bilməz. Deməli, cavab tək bir ədəddir: mənfi dörd. Bəs ofsayd kökü haradan gəldi? Hesablamada səhv yoxdur. Səbəb üçüncü addımdadır: biz hər iki tərəfi iks kvadrat çıx dördə vurduq, iks iki olanda isə bu vuruq sıfırdır. Sıfıra vuranda istənilən iki tərəf bərabərləşir. Tərəzini təsəvvür edin: bir gözündə bir kiloqram, o birində beş kiloqram. Hər iki gözdəki yükü sıfıra vursaq, ikisi də boşalar və tərəzi düz dayanar. Amma bu, bir kiloqramın beş kiloqrama bərabər olduğunu sübut etmir. Səmədin yeni tənliyi, yəni hasilin səkkizə bərabər olması, ikini qəbul edir, köhnə tənlik isə qəbul etmir. Ortaq məxrəcə vurmaq tənliyə yad kök gətirə bilər. Buna görə dördüncü addım bəzək deyil: ofsayd kökü yalnız orada tutulur. Üçüncü fəsil: tənasüb. Bəzən tənliyin hər tərəfində bir kəsr olur, yəni tənlik iki kəsrin bərabərliyidir. Belə tənliyi tənasübün xassəsi ilə həll etmək olar: birinci kəsrin surətini ikincinin məxrəcinə, ikincinin surətini birincinin məxrəcinə vururuq və hasilləri bərabərləşdiririk. Buna çarpaz vurma da deyirlər. Yoxlama isə yenə yerində qalır. Sınayın: iks çıx üç bölü iki bərabərdir səkkiz bölü iks üstəgəl üç. İki sual: iks hansı qiymətə bərabər ola bilməz və tənliyin kökləri hansılardır? Fasilə verin, düşünün. Yasaq qiymət birdir: iks mənfi üçə bərabər ola bilməz. Çarpaz vuranda iks çıx üç ilə iks üstəgəl üçün hasili on altıya bərabər olur, yəni iks kvadrat çıx doqquz on altıdır. Buradan iks kvadrat iyirmi beşdir: iks ya beşdir, ya da mənfi beş. Heç biri yasaq siyahısında deyil, ikisi də kökdür. Beşi yoxlayaq: solda iki bölü iki, yəni bir, sağda səkkiz bölü səkkiz, yenə bir. Bu dəfə ofsayd yoxdur: yoxlama həmişə kök atmır, amma həmişə aparılır. Dördüncü fəsil: kəsrə ad verək. Bəzən eyni kəsr tənlikdə bir neçə dəfə təkrarlanır. Məsələn, belə bir tənlik: iks bölü iks çıx dörd kəsrinin kvadratından həmin kəsrin üç mislini çıxırıq, iki əlavə edirik və sıfır alırıq. Burada iks çıx dörd məxrəcdədir, deməli, iks dördə bərabər ola bilməz. Dərslik belə hallarda yeni dəyişən daxil etməyi öyrədir. Kəsri bir müddət sadəcə bir ədəd kimi görək. Hansı ədədin kvadratından onun üç mislini çıxıb iki əlavə etsək, sıfır alınar? Biri birdir: bir çıx üç üstəgəl iki sıfırdır. O biri ikidir: dörd çıx altı üstəgəl iki də sıfırdır. Deməli, kəsr ya birə, ya da ikiyə bərabərdir. İndi sual: bu iki imkandan biri heç bir kökə aparmır. Hansı? Kəsr birə bərabər ola bilməz. İks bölü iks çıx dörd kəsrində surət məxrəcdən həmişə dörd vahid böyükdür, belə iki ədəd isə heç vaxt bərabər ola bilməz. Bu yol heç bir kökə aparmır. Kəsr ikiyə bərabər olanda isə surət məxrəcin iki misli olmalıdır, bu da yalnız iks səkkiz olanda doğrudur: səkkiz bölü dörd ikidir. Səkkiz yasaq deyil, cavab səkkizdir. Diqqət: yeni dəyişənin qiymətlərini, yəni bir və ikini, cavab kimi yazmaq olmaz. Cavab həmişə iksin qiymətidir. Beşinci fəsil: hekayədən tənliyə. Meydançaya qayıdaq. Qalan oyunçular nəhayət gəlib çatır. Meydançanın bir saatı qırx səkkiz manatdır və pulu oynayanlar bərabər bölür. Fuad pulu yığır və gülümsəyir: «Bil görüm, əvvəl neçə nəfər idik? Bircə şey deyəcəyəm: dörd nəfər də gələndə hər kəsin payı iki manat azaldı.» Gəlin birlikdə tənlik quraq. Əvvəlki oyunçuların sayını iks adlandıraq. Əvvəlki pay qırx səkkiz bölü iks manatdır. Sonrakı pay qırx səkkiz bölü iks üstəgəl dörd manatdır. Şərt deyir: əvvəlki pay sonrakından iki manat çoxdur. Məxrəclərə baxaq: iks sıfıra bərabər ola bilməz, mənfi dördə də bərabər ola bilməz. Hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vurub sadələşdirəndə sadə bir şərt qalır: iks ilə iks üstəgəl dördün hasili doxsan altıya bərabərdir. Yəni elə ədəd lazımdır ki, onu özündən dörd vahid böyük ədədə vuranda doxsan altı alınsın. Bu tənliyin də iki kökü var: səkkiz və mənfi on iki. Hər ikisi yasaq siyahısından keçir. Sizcə, hansı qalır? Mənfi on iki tənliyi ödəyir, amma oyunçuların sayı mənfi ola bilməz. Söz məsələsində ikinci yoxlama da var: kök məsələnin mənasına uyğun gəlməlidir. Cavab: əvvəl səkkiz nəfər idilər. Yoxlayaq: qırx səkkiz bölü səkkiz altı manatdır, qırx səkkiz bölü on iki dörd manatdır, fərq iki manatdır. Dərslikdəki iş, sürət və məhlul məsələləri də eyni yolla həll olunur: tənlik, yasaq siyahısı, sonra mənası ilə yoxlama. Gəlin meydançaya son dəfə baxaq. Oyun bitib, Fuad son fiti çalıb. Səməd dəftərini açıb Fuada izah edir: ofsayd kökü onun səhvi deyildi. Kəsrlərdən qurtulmaq üçün tənliyi elə ifadəyə vurmuşdu ki, o, iks iki olanda sıfırdır, sıfıra vurma isə tərəzini aldadır. Futbolda ofsayd xətti oyundan əvvəl çəkilir. Tənlikdə də yasaq siyahısı həll başlamazdan əvvəl yazılır, sonra hər kök onunla yoxlanır. Yadda saxlamaq üçün bir fikir: rasional tənliyi həll etməzdən əvvəl yasaq qiymətləri yazın, sonda hər kökü o siyahı ilə, söz məsələsində isə bir də mənası ilə yoxlayın. Kəsri ixtisar etsəniz belə, yasaq qiymətlər qalır. Addım-addım həllər oxu dərsində və videodadır. Düşünmək üçün sual: Səmədin tənliyində sağ kəsrin surəti səkkiz yox, on beş olsaydı, ofsayd kökü yenə görünərdimi? Cavabı özünüz tapın. Növbəti dərsə qədər, sağ olun!