Rasional üstlü qüvvət: iməcilikdə boya bankaları

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: oktyabrın sonu, şənbə səhəridir. Məktəbin həyətində iməcilik gedir. Kimi yarpaq yığır, kimi ağacların dibini təmizləyir. Doqquzuncu sinif şagirdləri Pərvin və Aqşinə isə xüsusi tapşırıq düşüb: həyətdəki beton oturacaqları rəngləmək. Bu oturacaqlar kub formalıdır, hamısı eyni ölçülü kiçik kublardır və hər payız təzədən rənglənir. Təsərrüfat müdiri deyir ki, keçən il hər kiçik kuba düz bir banka boya getdi. Amma bu il həyətdə iki yeni, daha böyük kub var. Biri darvazanın yanındadır. Ustalar deyib ki, darvazadakı kuba kiçik kubdan səkkiz dəfə çox beton gedib. İkincisi idman meydançasının kənarındadır və bu kuba üç dəfə çox beton gedib. Aqşin anbardan boya bankalarını daşıyır və hesablayır: «Səkkiz dəfə çox beton, deməli, səkkiz banka boya. Üç dəfə çox beton, deməli, üç banka. Səkkiz banka darvazaya, üç banka meydançaya!» Pərvin dəftərini açır, kubun şəklini çəkir və dayanır. «Gözlə,» deyir, «boya kubun içinə getmir, yalnız üzlərinə çəkilir. Beton səkkiz dəfə çoxdursa, kubun tərəfi səkkiz dəfə uzun deyil. Bəs üzü neçə dəfə böyükdür?» Aqşin çiyinlərini çəkir. Sual belədir: hər yeni kuba neçə banka boya lazımdır? Və bu boyanın bugünkü mövzumuzla, yəni üstü kəsr olan qüvvətlə nə əlaqəsi var? Gəlin birlikdə tapaq. Salam! Bu, doqquzuncu sinif riyaziyyatından dinləmə dərsidir və mövzumuz rasional üstlü qüvvətdir. Siz artıq iki şeyi bilirsiniz: tam üstlü qüvvəti və istənilən dərəcədən kökü. Bu gün bu ikisini bir yazılışda birləşdirəcəyik. Əvvəl kəsr üstünün mənasını öyrənəcəyik, sonra qiymət hesablayacağıq. Ardınca mənfi üstlərə və onluq kəsr üstlərə, sonra mənfi əsaslara keçəcəyik. Sonda isə qüvvətləri müqayisə edəcəyik. Hər yeni fikirdən sonra sizə bir sual verəcəyəm: qısa fasilə olacaq, cavabı ağılda tapın, sonra birlikdə yoxlayaq. Birinci fəsil: kəsr üstü haradan gəlir. Bir nümunə ilə başlayaq. Yeddi üstü dörd, yəni dörd dənə yeddinin hasili. Bu hasilin kvadrat kökünü alaq. Dörd yeddini iki bərabər qrupa ayıraq: hər qrupda iki yeddi var. Hər qrupun hasili qırx doqquzdur, qırx doqquzun kvadratı isə elə yeddi üstü dörddür. Deməli, kvadrat kök yeddi üstü ikiyə, yəni qırx doqquza bərabərdir. Diqqət edin: dörd bölünsün iki, iki alınır. Kök alanda qüvvətin üstü kökün üstünə bölünür. Bəs bölünmə tam alınmayanda nə edək? Məsələn, səkkizin kvadratından kub kök alaq. Burada iki üçə tam bölünmür. Riyaziyyatda belə razılaşıblar: bölünməni kəsr kimi saxlayırıq və bunu səkkiz üstü üçdə iki adlandırırıq. Dərslikdəki tərif budur: müsbət ədədin kəsr üstlü qüvvətində kəsrin məxrəci kökün üstü olur, surəti isə kökaltı ədədin qüvvət üstü. Qısa yadda saxlayın: məxrəc kökə, surət qüvvətə gedir. Belə qüvvətə rasional üstlü qüvvət deyilir, çünki üstündə rasional ədəd durur. İndi həyətə qayıdaq. Darvazadakı kuba səkkiz dəfə çox beton gedib. Kubun tərəfi neçə dəfə uzundur? Bunu kub kök deyir: səkkizin kub kökü ikiyə bərabərdir, yəni tərəf iki dəfə uzundur. Kubun hər üzü kvadratdır. Tərəf iki dəfə uzanırsa, hər üzün sahəsi dörd dəfə böyüyür. Pərvin bu iki addımı atdı: əvvəl kub kök, sonra kvadrat. Bu, elə səkkiz üstü üçdə ikidir. Səkkizin kvadratı altmış dörddür, altmış dördün kub kökü isə dörddür. Deməli, darvazadakı kuba səkkiz yox, dörd banka boya lazımdır. İndi sizin növbənizdir. Əsası iki, üstü isə yeddidə üç olan qüvvəti kök şəklində yazın. Hansı dərəcədən kök olacaq və kök altında nə duracaq? Məxrəc yeddidir, deməli, yeddinci dərəcədən kök. Surət üçdür, deməli, kök altında ikinin kubu, yəni səkkiz durur. İki üstü yeddidə üç səkkizin yeddinci dərəcədən köküdür. İndi tərsinə: altının kubundan beşinci dərəcədən kök. Bunu qüvvət kimi necə yazarsınız? Kökün üstü beş məxrəcə, qüvvət üstü üç surətə gedir: altı üstü beşdə üç. Sadə kökləri də belə yazmaq olar. Yeddinin kvadrat kökü yeddi üstü ikidə birdir, kub kökü isə yeddi üstü üçdə bir. Yəni kök elə kəsr üstlü qüvvətdir, sadəcə başqa geyimdə. İkinci fəsil: qiyməti necə hesablayaq. Tərif iki addım verir: kök və qüvvət. Hansını əvvəl etmək sizin seçiminizdir, amma adətən əvvəl kökü almaq rahatdır, çünki ədədlər kiçilir. Məsələn, on altı üstü ikidə üç. On altının kvadrat kökü dörddür, dördün kubu isə altmış dörddür. Əgər əvvəl kubu alsaydınız, dörd rəqəmli bir ədəd çıxardı, sonra da həmin ədədin kökünü axtarardınız. Cavab eyni olardı, yol isə uzun. Bir tələyə də diqqət edin. Üstdəki kəsr xətti ədədi bölmək demək deyil. Səksən bir üstü ikidə bir səksən birin yarısı deyil. Bu, səksən birin kvadrat köküdür, yəni doqquz. Bir də sıfır haqqında: sıfırın istənilən dərəcədən kökü sıfırdır. Buna görə sıfırın müsbət kəsr üstlü qüvvəti də sıfıra bərabərdir. Sınayın: əsası dörd, üstü isə ikidə beş olan qüvvət nəyə bərabərdir? Əvvəl kök, sonra qüvvət. Məxrəc ikidir, deməli, kvadrat kök: dördün kvadrat kökü ikidir. Surət beşdir: ikinin beşinci qüvvəti otuz ikiyə bərabərdir. Dörd üstü ikidə beş otuz ikidir. Üçüncü fəsil: mənfi və onluq kəsr üstlər. Səkkizinci sinifdən bilirsiniz ki, mənfi üst ədədi kəsrə çevirir: iki üstü mənfi bir, ikidə birdir. Kəsr üstlərdə də belədir. Dörd üstü mənfi ikidə üç, bir bölünsün dörd üstü ikidə üç deməkdir. Dörd üstü ikidə üç isə səkkizə bərabərdir: dördün kvadrat kökü iki, ikinin kubu səkkiz. Deməli, cavab səkkizdə birdir. Diqqət edin: cavab müsbətdir. Mənfi üst cavabı mənfi etmir, sadəcə kəsrə çevirir. Sizin növbəniz: əsası on altı, üstü isə mənfi dörddə beş olan qüvvəti hesablayın. Üst mənfi dörddə beşdir. Əvvəl mənfini kənara qoyaq. On altının dördüncü dərəcədən kökü ikidir, ikinin beşinci qüvvəti isə otuz iki. Mənfi üst bunu kəsrə çevirir: cavab otuz ikidə birdir. Dərslikdə üst bəzən onluq kəsrlə yazılır. Qorxmayın: belə üstü adi kəsrə çevirmək kifayətdir. Sıfır tam onda beş ikidə birdir, bir tam onda beş ikidə üçdür, iki tam onda beş isə ikidə beşdir. Deməli, dörd üstü iki tam onda beş az əvvəl hesabladığımız ədəddir: otuz iki. İndi siz deyin: otuz altı üstü bir tam onda beş nəyə bərabərdir? Bir tam onda beş ikidə üçdür. Otuz altının kvadrat kökü altıdır, altının kubu isə iki yüz on altıya bərabərdir. Deməli, cavab iki yüz on altıdır. Dördüncü fəsil: əsas nə vaxt mənfi ola bilməz. Tərifdə bir şərt var idi: əsas müsbət ədəddir. Niyə? Gəlin mənfi bir ilə yoxlayaq. Mənfi bir üstü üçdə bir. Kub kök kimi yazsaq, mənfi birin kub kökü mənfi birdir. Amma üçdə bir altıda ikiyə bərabərdir. Altıda iki kimi yazsaq, mənfi birin kvadratı bir alınır, birin altıncı dərəcədən kökü isə birdir. Eyni qüvvət, iki fərqli cavab: mənfi bir və müsbət bir. Belə ziddiyyətdən qaçmaq üçün dərslik qəti deyir: mənfi ədədlər üçün kəsr üstlü qüvvətə baxılmır. Mənfi birin kub kökü isə var və mənfi birə bərabərdir: kök başqa, kəsr üstlü qüvvət başqa. Sıfır əsas da diqqət istəyir. Üst müsbətdirsə, cavab sıfırdır. Üst mənfidirsə, sıfıra bölmək lazım gəlir və ifadənin mənası yoxdur. Buradan bir qayda çıxır: əsasda dəyişən varsa, üst müsbət olanda əsas sıfır və ya müsbət ədəd olmalıdır, üst mənfi olanda isə yalnız müsbət. Sınayın. Mötərizədə iks çıx iki ifadəsi var, üstü isə dörddə üç. İksin hansı qiymətlərində bu ifadənin mənası var? Bəs üst mənfi dörddə üç olsa? Birinci halda üst müsbətdir, deməli, iks çıx iki sıfır və ya müsbət olmalıdır: iks ikiyə bərabərdir və ya ikidən böyükdür. İkinci halda üst mənfidir və əsas sıfır ola bilməz: iks ikidən böyük olmalıdır. Fərq cəmi bir nöqtədədir: iks ikiyə bərabər olanda. Beşinci fəsil: hansı qüvvət böyükdür. İki sadə qayda var. Birincisi: üstlər eyni və müsbətdirsə, əsası böyük olan qüvvət böyükdür. Məsələn, səkkiz üstü üçdə iki üç üstü üçdə ikidən böyükdür: darvazadakı kuba meydançadakından çox boya gedir. İkincisi: əsaslar eyni və birdən böyükdürsə, üstü böyük olan qüvvət böyükdür. İki üstü dörddə üç iki üstü üçdə ikidən böyükdür, çünki dörddə üç üçdə ikidən böyükdür. Amma əsas sıfırla bir arasındadırsa, məsələn, sıfır tam onda beşdirsə, hər şey tərsinə dönür: üst böyüdükcə qüvvət kiçilir. İndi idman meydançasına qayıdaq. Oradakı kuba üç dəfə çox beton gedib. Boya isə üç üstü üçdə iki dəfə çox lazımdır, yəni doqquzun kub kökü qədər. Sual: iki banka kifayət edərmi? İpucu: ikini də kub kök kimi yazın. İkinin kubu səkkizdir, deməli, iki səkkizin kub köküdür. Doqquzun kub kökü səkkizin kub kökündən böyükdür, çünki doqquz səkkizdən böyükdür. Deməli, boya iki bankadan bir az çox lazımdır. İki banka çatmır, üçüncü bankanın isə çox hissəsi artıq qalacaq. Gəlin həyətə son dəfə baxaq. Günortaya yaxın hər iki kub rənglənib. Darvazadakı kuba dörd banka getdi, meydançadakına iki banka və üçüncüdən bir az. Aqşinin gətirdiyi bankalardan dördü açılmamış qalır və anbara qayıdır. Aqşinin səhvi betonla boyanı eyni saymaq idi: beton kubun həcmidir, boya isə səthi. Həcmdən səthə keçmək üçün əvvəl kub kök, sonra kvadrat lazımdır, yəni üstü üçdə iki olan qüvvət. Bugünkü dərsdən bir fikri yadda saxlayın: kəsr üstünün məxrəci kökün üstüdür, surəti isə qüvvət üstü. Mənfi üst cavabı kəsrə çevirir, onluq kəsr üstünü adi kəsrə çevirib hesablayırıq, əsas isə müsbət olmalıdır. Hesablama addımlarını oxu dərsində və videoda da görə bilərsiniz. Növbəti mövzuda rasional üstlü qüvvətin xassələrini öyrənəcəyik. Düşünmək üçün bir sual: bir kubun içinə altmış dörd dəfə çox beton getsə, bu kuba neçə dəfə çox boya lazım olar? Növbəti dərsə qədər, sağ olun!