İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər

HTML dərsAzərbaycan

Dərsin mətni

6.65
11-ci sinif
Tənliklər və bərabərsizliklər

√x − 3 = 5 − x tənliyini kvadrata yüksəldəndə iki ədəd alınır: 4 və 7. Amma tənliyin kökü onlardan yalnız biridir. Hansı — və o biri haradan gəldi?

Bu dərsdə

irrasional tənliyi qüvvətə yüksəltməklə həll edib yad kökləri yoxlama ilə atacaqsan;
√f(x) = g(x) tənliyini eynigüclü sistemə gətirməyi öyrənəcəksən;
irrasional bərabərsizlikləri təyin oblastı və işarə şərtləri ilə rasional sistemlərə gətirəcəksən.

√(x − 3) = 5 − x: bir həqiqi kök və bir yad kök

Başla Yenidən Yenidən

Kəşf et
Tərif və qayda
Nümunələr
Diqqət
Bərabərsizliklər
Tətbiq
Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat işarəni «unudur»

Herodakı iki ədəddən biri niyə artıqdır? Səbəb kvadrata yüksəltmənin özündədir: fərqli ədədlərin kvadratı eyni ola bilər.

Cüt qüvvət

3² = 9 = (−3)²

3 ≠ −3, amma kvadratları bərabərdir: işarə itir.

Tək qüvvət

(−2)³ = −8, 2³ = 8

Kub işarəni saxlayır, ona görə tək qüvvət yeni ədəd əlavə etmir.

Nəticə

a = b ⇒ a² = b²

Tərsi isə doğru deyil: a² = b² olsa da, a = −b ola bilər.

Herodakı tənlikdə də belədir: √x − 3 = 5 − x və −√x − 3 = 5 − x tənlikləri kvadrata yüksəldiləndə eyni tənliyə çevrilir: x − 3 = (5 − x)². Onun iki kökündən 4 birinci tənliyə, 7 isə ikinci — qırmızı qırıq əyrinin — tənliyinə aiddir.

2 · Tərif və qayda

İrrasional tənlik nədir?

Tərif

Radikal işarəsi altında (yaxud kəsr üstlü qüvvətə yüksəldilmiş) dəyişəni olan tənliyə irrasional tənlik deyilir. Məsələn: √x − 1 = 5, ∛(x + 2) − x = 3.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)²,g(x) ≥ 0

Həll edərkən nəzərə alırıq:

həll həqiqi ədədlər çoxluğunda axtarılır;
cüt dərəcəli radikalın hesabi (mənfi olmayan), tək dərəcəlinin isə həqiqi qiyməti götürülür;
hər iki tərəfi tək dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə eynigüclü tənlik alınır;
cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə dəyişənin mümkün qiymətləri genişlənə bilər, ona görə tapılan hər ədədi verilmiş tənlikdə yoxlayırıq.

√(x − 3) = 5 − x tənliyinin hissələri

Mavi şərt kökaltını, narıncı şərt sağ tərəfi qoruyur; yalnız bundan sonra kvadrata yüksəldirik.

3 · Nümunələr

Addım-addım həll edirik

Nümunə 1Radikal və xətti ifadə

√x − 3 + x = 5 tənliyini həll edin.

Radikalı bir tərəfdə saxlayırıq: √x − 3 = 5 − x.
Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik: x − 3 = (5 − x)² = 25 − 10x + x².
Sadələşdiririk: x² − 11x + 28 = 0, buradan x₁ = 4, x₂ = 7.
Yoxlayırıq: x = 4 olduqda √1 + 4 = 5 ✓; x = 7 olduqda √4 + 7 = 9 ≠ 5 ✗. Sistemlə də görünür: 5 − x ≥ 0 tələb edir ki, x ≤ 5 olsun.

Cavab: {4}

Nümunə 2Hasil sıfra bərabərdir

(x² − 1)√x + 5 = 0 tənliyini ödəyən neçə həqiqi ədəd var?

Təyin oblastı: x + 5 ≥ 0, yəni x ≥ −5.
Vuruqları sıfra bərabərləşdiririk: x² − 1 = 0 ⇒ x = ±1; √x + 5 = 0 ⇒ x = −5.
Hər üç namizəd x ≥ −5 şərtini ödəyir, ona görə hamısı kökdür. (Namizəd oblastdan kənarda olsaydı, atılardı.)

3 kök: −5; −1; 1

Nümunə 3İki radikal

√2x + 3 − √x + 1 = 1 tənliyini həll edin.

Bir radikalı ayırırıq: √2x + 3 = 1 + √x + 1 (sağ tərəf müsbətdir).
Kvadrata yüksəldirik: 2x + 3 = 1 + 2√x + 1 + x + 1 ⇒ x + 1 = 2√x + 1.
t = √x + 1 ≥ 0 işarə edək: t² = 2t ⇒ t = 0 və ya t = 2.
√x + 1 = 0 ⇒ x = −1; √x + 1 = 2 ⇒ x = 3. Yoxlama: √1 − √0 = 1 ✓, √9 − √4 = 1 ✓.

Cavab: {−1; 3}

4 · Diqqət

Tez-tez edilən iki səhv

Yoxlamasız cavab

x² − 11x + 28 = 0 ⇒ {4; 7}

Kvadrata yüksəltmədən sonra alınan hər kök ilkin tənliyin kökü deyil.

Yoxlama və ya şərt

5 − x ≥ 0 ⇒ yalnız x = 4

Şərt (və ya yerinə yazmaq) yad kökü dərhal atır.

Fərqin kökü kimi

√a − √b = √a − b

Yanlışdır: √25 − √9 = 2, amma √16 = 4.

Bir radikalı ayırmaq

√a = c + √b

Sonra kvadrata yüksəldirik: a = c² + 2c√b + b.

5 · Bərabərsizliklər

İrrasional bərabərsizliklər

Tərif

Radikal işarəsi altında dəyişəni olan bərabərsizlik irrasional bərabərsizlikdir. Onun da həlli həqiqi ədədlərdə axtarılır və kökün, bərabərsizliklərin xassələri ilə rasional bərabərsizliklər sisteminə gətirilir.

Kök kiçikdir

√f < g ⇔ f ≥ 0,g > 0,f < g²

Sol tərəf ≥ 0 olduğundan sağ tərəf müsbət olmalıdır.

Kök böyükdür

√f > g

1) g < 0 olduqda: f ≥ 0 olan hər x həlldir. 2) g ≥ 0 olduqda: f > g². Cavab — iki halın birləşməsi.

Nümunə 4Kök ədəddən kiçikdir

√x² − 8x < 3 bərabərsizliyini həll edin.

Eynigüclü sistem: x² − 8x ≥ 0 (kök mənalı) və x² − 8x < 9 (kvadrata yüksəltdik).
Vuruqlara ayırırıq: x(x − 8) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 və ya x ≥ 8.
(x − 9)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 9.
İntervallar üsulu ilə kəsişməni tapırıq (şəkil).

(−1; 0] ∪ [8; 9)

√(x² − 8x) < 3 üçün iki şərtin kəsişməsi

Başla Yenidən Yenidən

Mavi və narıncı şərtlərin ortaq hissəsi yaşıldır: 0 və 8 daxildir (orada kök 0 < 3), −1 və 9 daxil deyil (orada kök 3-ə bərabərdir). Sxem miqyassızdır.

Nümunə 5Kök ifadədən böyükdür

√x + 3 > x + 1 bərabərsizliyini həll edin.

1-ci hal: x + 1 < 0. Sol tərəf ≥ 0 > sağ tərəf, ona görə x + 3 ≥ 0 olan bütün x uyğundur: [−3; −1).
2-ci hal: x + 1 ≥ 0. Kvadrata yüksəldirik: x + 3 > (x + 1)² ⇒ x² + x − 2 < 0 ⇒ −2 < x < 1; x ≥ −1 ilə: [−1; 1).
Birləşdiririk: [−3; −1) ∪ [−1; 1) = [−3; 1).

[−3; 1)

y = √(x + 3) və y = x + 1 qrafikləri

Mavi əyri −3-dən 1-ə qədər narıncı düz xəttin üstündədir; x = 1-də onlar bərabərdir, ona görə 1 həllə daxil deyil.

6 · Tətbiq

Absis oxunda hansı nöqtə A və B-dən eyni uzaqdadır?

Absis oxunda A və B nöqtələrindən eyni məsafədə olan P nöqtəsi

P nöqtəsi absis oxu üzərindədir və A, B nöqtələrinə qədər məsafələri bərabərdir. Sxem miqyassızdır.

Fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə kökaltı ifadə ilə verilir:

PQ = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²

Ona görə «eyni məsafə» şərti irrasional tənlikdir. Dərslikdəki nümunə: A(3; 2; 2) və B(5; 5; 4) nöqtələrindən eyni məsafədə olan və absis oxu üzərində yerləşən P(x; 0; 0) nöqtəsini tapaq.

PA = PB:√(x − 3)² + 2² + 2² = √(x − 5)² + 5² + 4²(x − 3)² + 8 = (x − 5)² + 41x² − 6x + 17 = x² − 10x + 664x = 49 ⇒ x = 12,25

Burada yad kök yarana bilməz: hər iki kökaltı ifadə həmişə müsbətdir, hər iki tərəf mənfi deyil, ona görə kvadrata yüksəltmə eynigüclü keçiddir. Cavab: P(12,25; 0; 0).

Yoxlama: PA² = 9,25² + 8 = 93,5625 və PB² = 7,25² + 41 = 93,5625.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

Asan √x + 1 = 3 tənliyinin kökünü tap. Cavab variantları 2 8 10 Düzdür! x + 1 = 9, x = 8. Kvadrata yüksəlt: x + 1 = 3² = 9. Həllə bax x + 1 = 9 ⇒ x = 8. Yoxlama: √9 = 3 ✓.
Asan √x − 5 = −2 tənliyinin neçə kökü var? Cavab variantları 1 (x = 9) Kökü yoxdur 2 Düzdür! Hesabi kök mənfi ola bilməz. x = 9 yoxla: √4 = 2, −2 deyil. Həllə bax Sol tərəf hesabi kökdür, ≥ 0; sağ tərəf −2 < 0. Bərabərlik heç vaxt ödənmir. Kvadrata yüksəltmədən alınan x = 9 yad kökdür.
Orta √x + 6 = x tənliyini həll et. Cavab variantları 3 −2 3 və −2 Əla! −2 yad kökdür. x = −2-ni yoxla: √4 = 2, amma sağ tərəf −2. Həllə bax x + 6 = x² ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = 3 və ya x = −2. Sağ tərəf x ≥ 0 olmalıdır, ona görə yalnız x = 3.
Orta √x − 1 < 2 bərabərsizliyinin həlli hansıdır? Cavab variantları (−∞; 5) [1; 5) (1; 5] Düzdür! Təyin oblastını unutmadın. Kökaltı mənalı olmalıdır: x − 1 ≥ 0. Həllə bax 0 ≤ x − 1 < 4 ⇒ 1 ≤ x < 5. x = 1 daxildir (0 < 2), x = 5 daxil deyil (2 < 2 yalandır).
Çətin √x + 2 > x bərabərsizliyini həll et. Cavab variantları [0; 2) [−2; 2) (−1; 2) Əla! İki halı birləşdirdin. x < 0 halını unutma: orada sol tərəf ≥ 0 > x. Həllə bax 1) x < 0: x + 2 ≥ 0 olan hər x uyğundur ⇒ [−2; 0). 2) x ≥ 0: x + 2 > x² ⇒ −1 < x < 2 ⇒ [0; 2). Birləşmə: [−2; 2).

Xülasə

Yadda qalanlar

Yoxla!Cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltmə yad kök verə bilər: tapılan hər ədədi ilkin tənlikdə yoxla.
√f = g ⇔ f = g², g ≥ 0Sağ tərəfin işarə şərti yoxlamanı əvəz edə bilər.
Bərabərsizlikdə şərtlərTəyin oblastı, sağ tərəfin işarəsi və kvadrat şərt — cavab onların kəsişməsi və ya birləşməsidir.

Növbəti mövzu: 6.66 Üstlü tənliklər sistemi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər», səh. 287–288 (tərif, qaydalar, nümunələr və öyrənmə tapşırıqları) və səh. 38 (fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə, Nümunə 2). Test tipləri: DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu 2025, I hissə», «İrrasional tənliklər» və «İrrasional bərabərsizliklər» bölmələri. Özünüyoxlama ədədləri bu dərs üçün seçilib.