Loqarifmik tənliklər sistemi

• 6.67
• 11-ci sinif
• Tənliklər və sistemlər

Loqarifmik tənliklər sistemi

x + y = 6 və log2x + log2y = 3 — loqarifmlər sistemi çətin göstərir. Amma bir xassə ikinci tənliyi xy = 8 edir və qarşımıza tanış sistem çıxır. Cavab: (2; 4) və (4; 2).

Bu dərsdə

• sistemin təyin oblastını əvvəlcədən yazacaqsan;
• loqarifmin xassələri ilə loqarifmik tənlikləri cəbri tənliyə çevirəcəksən;
• sistemi əvəzetmə, cəbri toplama və ya yeni dəyişənlə həll edib hər cavabı yoxlayacaqsan.

Loqarifmik tənlik cəbri tənliyə çevrilir və sistemin iki həlli qrafikdə görünür

Başla Yenidən Yenidən

1. Loqarifmdən cəbrə
2. Üsullar və şərt
3. Nümunələr
4. Təyin oblastı
5. Həyatda
6. Özünü yoxla
7. Xülasə

1 · Kəşf et

Loqarifmdən cəbrə bir addım

Dərslikdəki nümunəyə baxaq: x + y = 6 və log2x + log2y = 3. İki məchul, iki tənlik — sistemdir. Fərq yalnız ondadır ki, ikinci tənlikdə loqarifmlər var.

x + y = 6,log2x + log2y = 3

1. Loqarifm yalnız müsbət ədəddən alınır: x > 0, y > 0. Dərslik də belə başlayır: «Aydındır ki, x > 0, y > 0 olmalıdır».
2. Eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifmidir: log2(xy) = 3, yəni xy = 23 = 8.
3. İndi sistem adi cəbri sistemdir: y = 6 − x, x(6 − x) = 8, x2 − 6x + 8 = 0, x = 2 və ya x = 4. (2; 4) və (4; 2)

x + y = 6 və xy = 8 qrafiklərinin kəsişməsi

Başla Yenidən Yenidən

Hər tənlik bir xətt çəkir: x + y = 6 — düz xətt, xy = 8 — hiperbola. Onlar rənglənmiş oblastda (x > 0, y > 0) iki dəfə kəsişir, ona görə sistemin iki həlli var.

Deməli, loqarifmik sistemin əsas sirri sadədir: loqarifmləri xassələrlə «açırıq», qalanı artıq tanış cəbrdir. Yeganə yeni vəzifə — tapılan cütlərin loqarifmlərin təyin oblastına düşdüyünü yoxlamaqdır.

2 · Qayda

Üsullar və bir vacib şərt

Yadda saxla

Loqarifmik tənliklər sisteminin həllində də əvəzetmə, cəbri toplama və yeni dəyişən daxiletmə üsulları tətbiq edilir və loqarifmin xassələrindən istifadə olunur. Addımlar:

1. Təyin oblastını yaz: hər loqarifmin arqumenti > 0, dəyişən əsas > 0 və ≠ 1.
2. Xassələrlə loqarifmləri aradan qaldır: cəbri və ya üstlü tənlik al.
3. Alınan sistemi tanış üsulla həll et.
4. Hər cütü təyin oblastı ilə və ilkin sistemdə yoxla.

Hasil və qismət

logax + logay = loga(xy)

x > 0, y > 0 olanda. Fərq isə qismətin loqarifmidir: logax − logay = loga(x : y).

Qüvvət

k · logab = logabk

b > 0 olanda. 2log2(y − 1) = log2(y − 1)2, amma log2(2y − 2) deyil.

Bərabər loqarifmlər

logau = logav ⇔ u = v

u > 0, v > 0 şərti ilə (10-cu sinif dərsliyi, səh. 271).

Tərif

logaf = c ⇔ f = ac

Loqarifmik tənliyi ekvivalent üstlü yazılışla əvəz edirik.

3 · Nümunələr

Üç üsul — üç nümunə

Nümunə 1Cəbri toplama

log2x + log2y = 3,log2x − log2y = 1

1. Təyin oblastı: x > 0, y > 0.
2. u = log2x, v = log2y: u + v = 3, u − v = 1 — xətti sistem.
3. Toplayırıq: 2u = 4, u = 2; onda v = 1.
4. Tərifə görə: x = 22 = 4, y = 21 = 2. Yoxlama: 2 + 1 = 3, 2 − 1 = 1. (4; 2)

Nümunə 2Əvəzetmə: loqarifm və qüvvət birlikdə

log2(x − y) = 1,2x · 3y+1 = 72

1. Təyin oblastı: x − y > 0.
2. Birinci tənlikdən tərifə görə x − y = 2, yəni x = y + 2 (şərt ödənir).
3. İkinci tənlikdə yerinə yazırıq: 2y+2 · 3y+1 = 72. Hər tərəfi 2-yə bölək: 2y+1 · 3y+1 = 36.
4. Eyni üstlü qüvvətləri birləşdiririk: 6y+1 = 62, deməli y = 1, x = 3. (3; 1)

Nümunə 3Yeni dəyişən

logxy + logyx = 2,x2 + y = 12

1. Əsaslarda dəyişən var: x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1.
2. Əsasları yer dəyişmiş loqarifmlər qarşılıqlı tərsdir: logyx = 1 : logxy. t = logxy götürək: t + 1/t = 2.
3. t2 − 2t + 1 = 0, yəni (t − 1)2 = 0, t = 1. Deməli logxy = 1, yəni y = x.
4. x2 + x − 12 = 0 ⇒ x = 3 və ya x = −4. Mənfi ədəd əsas ola bilməz, qalır x = y = 3. Yoxlama: log33 + log33 = 2, 9 + 3 = 12. (3; 3)

4 · Diqqət

Təyin oblastı: xy > 0 kifayət deyil

Dərslikdəki tapşırıq: x − y = 6, log2x + log2y = 4. Hasil düsturundan xy = 16, x = y + 6 ⇒ y2 + 6y − 16 = 0 ⇒ y = 2 və ya y = −8. Cəbr iki cüt verir: (8; 2) və (−2; −8).

Səhv düşüncə

(8; 2) və (−2; −8)

(−2) · (−8) = 16 > 0, amma log2(−2) və log2(−8) ümumiyyətlə mövcud deyil.

Düzgün

yalnız (8; 2)

Hər loqarifmin arqumenti ayrıca müsbətdir: x > 0 və y > 0.

xy = 16 hiperbolası, y = x − 6 düz xətti və təyin oblastı

Hiperbolanın iki qolu var, düz xətt hər ikisini kəsir. Lakin loqarifmlərin təyin oblastı yalnız rənglənmiş birinci rübdür: (−2; −8) yad həlldir.

5 · Həyatda

Bakteriyalar nə qədər tez çoxalır?

Laboratoriyada bakteriyaların sayı ölçülür. Sadə modeldə hər T saatda say iki dəfə artır: N = N0 · 2t/T. Ölçmələr: 2 saatdan sonra 800, 5 saatdan sonra 6400 bakteriya. Başlanğıc say N0 və ikiqatlanma vaxtı T neçədir?

N0 · 22/T = 800,N0 · 25/T = 6400

Hər tənliyi log2 ilə loqarifmləyək. Hasil və qüvvət xassələrinə görə:

log2N0 + 2/T = log2800,log2N0 + 5/T = log26400

Bu, log2N0 və 1/T məchullarına görə xətti sistemdir. İkincidən birincini çıxaq: 3/T = log2(6400 : 800) = log28 = 3, yəni T = 1 saat. Onda log2N0 = log2800 − 2 = log2200, N0 = 200.

1. 200
2. ×2400
3. ×2800
4. ×21600
5. ×23200
6. ×26400

Yoxlama: N = 200 · 2t

Bu, sadələşdirilmiş modeldir: bütün bakteriyaların vaxtında bölündüyü və heç birinin məhv olmadığı fərz edilir.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan log3x + log3y = 2 olarsa, xy hasili neçədir? Cavab variantları 6 8 9 Düzdür: hasilin loqarifmi, sonra tərif. Yox. log3(xy) = 2 deməkdir ki, xy = 32. Həllə bax log3x + log3y = log3(xy) = 2, deməli xy = 32 = 9.
2. Asan log2x = 3,log2y = 1 sistemindən x + y cəmini tap. Cavab variantları 4 10 16 Əla! x = 8, y = 2. Loqarifmlərin cəmi (4) və ya hasil (16) deyil — əvvəl x və y-i tap. Həllə bax x = 23 = 8, y = 21 = 2, cəm 10.
3. Orta x + y = 5,lg x + lg y = lg 6 sistemini həll et. Cavab variantları (2; 3) (2; 3) və (3; 2) (1; 6) və (6; 1) Düzdür, sistem simmetrikdir. (1; 6)-da cəm 7-dir; tək (2; 3) isə yarımçıq cavabdır. Həllə bax lg(xy) = lg 6 ⇒ xy = 6; x + y = 5. Viyetə görə x və y ədədləri t2 − 5t + 6 = 0 tənliyinin kökləridir: 2 və 3. Həllər (2; 3) və (3; 2).
4. Orta x − y = 3,log2x + log2y = 2 sistemini həll et. Cavab variantları (4; 1) (4; 1) və (−1; −4) (1; 4) Əla! Təyin oblastını unutmadın. (−1; −4) cütündə loqarifmlər mənasızdır; (1; 4)-də isə x − y = −3. Həllə bax xy = 22 = 4, x = y + 3 ⇒ y2 + 3y − 4 = 0 ⇒ y = 1 və ya y = −4. x > 0, y > 0 şərtinə görə yalnız (4; 1).
5. Çətin log2x − log2y = 2,x − y = 6 sistemindən x + y cəmini tap. Cavab variantları 8 10 18 Düzdür: x = 8, y = 2. Loqarifmlər fərqi 2-dirsə, x : y = 22 = 4 olur, 2 yox. Həllə bax log2(x : y) = 2 ⇒ x = 4y. Onda 4y − y = 6 ⇒ y = 2, x = 8; x + y = 10. (8 — yalnız x-dir.)

Xülasə

Yadda qalanlar

• Əvvəl təyin oblastıHər loqarifmin arqumenti ayrıca müsbətdir; dəyişən əsas müsbət və 1-dən fərqlidir.
• Loqarifm → cəbrHasil, qismət, qüvvət xassələri və tərif sistemi tanış cəbri sistemə çevirir.
• Hər cütü yoxlaÇevrilmiş sistemin yad həlləri ola bilər; simmetrik ikinci cütü də unutma.

Bu mövzu 11-ci sinif tənliklər bölməsini tamamlayır: ümumiləşdirici tapşırıqlarla təkrar et.

Mənbələr: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Loqarifmik tənliklər sistemi», səh. 290 (nümunələr və 1 a, e, j tapşırıqları); «Riyaziyyat» — 10-cu sinif üçün dərslik, «Loqarifmik tənliklər», səh. 271. Bakteriya məsələsi və özünüyoxlama sualları bu dərs üçün tərtib edilib.