Üstlü tənliklər sistemi

• 6.66
• 11-ci sinif
• Tənliklər sistemi

Üstlü tənliklər sistemi

Məchullar qüvvətin üstündə gizlənib: 9x+y = 729 və 3x−y−1 = 1. Onları necə «aşağı endirək»? Əsasları eyniləşdirən kimi sistem adi xətti sistemə çevrilir və cavab (2; 1) cütü olur.

Bu dərsdə

• üstlü tənliklər sistemini tanıyacaq və onun həllinin nə olduğunu izah edəcəksən;
• tənliklərin görünüşünə görə üsul seçəcəksən: eyni əsas, əvəzetmə, yeni dəyişən, tənlikləri toplamaq, vurmaq və bölmək, qrafik;
• aˣ > 0 şərti ilə yad kökləri atacaq və cavabı yoxlayacaqsan.

Üstlü sistem xətti sistemə çevrilir və həll iki düz xəttin kəsişməsidir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Üsullar
4. Hesabla
5. Diqqət
6. Qrafik
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sistemin həlli nədir?

İki məchullu tənliklər sisteminin həlli elə (x; y) cütüdür ki, sistemin hər iki tənliyini doğru bərabərliyə çevirir. Məchullardan biri və ya hər ikisi qüvvətin üstündə olarsa, sistemə üstlü tənliklər sistemi deyilir.

(2; 1) cütünü yuxarıdakı sistemdə yoxlayaq:

92+1 = 93 = 729 ✓32−1−1 = 30 = 1 ✓

(1; 2) cütü isə yaramır: 93 = 729 ödənir, amma 31−2−1 = 3−2 = 19 / ≠ 1. Cüt hər iki tənliyi ödəməlidir.

Seçib yoxlamaq uzun yoldur. Daha yaxşısı — sistemi tanış sistemə çevirmək. Dərslikdə deyildiyi kimi, üstlü tənliklər sisteminin həlli digər sistemlərin həllindən fərqlənmir: burada da əvəzetmə, cəbri toplama, qrafik üsul və s. tətbiq olunur.

2 · Qayda

Üstləri necə «aşağı endiririk»?

Yadda saxla

Əgər a > 0 və a ≠ 1 olarsa, eyni əsaslı iki qüvvət yalnız üstləri bərabər olanda bərabərdir:

af = ag ⇔ f = g

Ona görə hər tənliyin iki tərəfini eyni əsaslı qüvvət kimi yazırıq və üstləri bərabərləşdiririk.

9 üstü x+y = 9³ bərabərliyindən x + y = 3 alınır

729 = 93 yazanda əsaslar eyni olur, üstlər isə xətti tənlik əmələ gətirir.

Qüvvət həmişə müsbətdir

ax > 0

Ona görə 3x = −3 kimi bərabərliyin həlli yoxdur — belə «kök» atılır.

Üstlərin cəmi — hasil

ax+y = ax · ay

Üstlərin cəmi qüvvətlərin hasilinə uyğundur; 2x + 2y isə ümumiyyətlə 2x+y-ə bərabər deyil.

3 · Üsullar

Tənliyin görünüşü üsulu seçir

Sistemi həll etməzdən əvvəl ona bax: hansı tərəfdə nə var? Aşağıdan üsul seç — onu nə vaxt işlətmək lazım olduğunu və kiçik nümunəni görəcəksən.

Sistemdə nə görürsən?

Eyni əsas Xətti tənlik Təkrarlanan qüvvət aˣbʸ və aʸbˣ Qrafik

Eyni əsasa gətir. Hər tənlik «qüvvət = ədəd» şəklindədirsə, ədədi həmin əsasın qüvvəti kimi yaz və üstləri bərabərləşdir: 4x−y = 32 ⇒ 22(x−y) = 25 ⇒ 2(x − y) = 5.

Əvəzetmə. Tənliklərdən biri xəttidirsə, ondan bir məchulu ifadə edib digərinə yaz: x = y + 1 ⇒ 2y+1 + 2y = 12 ⇒ 3 · 2y = 12.

Yeni dəyişən və ya toplama. Eyni qüvvətlər (3x, 3y) təkrarlanırsa, u = 3x, v = 3y götür; sistem cəbri sistemə çevrilir. Tənlikləri tərəf-tərəfə toplamaq və ya çıxmaq bir qüvvəti yox edə bilər. u > 0, v > 0 şərtini unutma.

Vur və böl. 2x · 3y və 2y · 3x kimi «tərs» hasillərdə tənlikləri vurmaq 6x+y, bölmək isə (2/3)x−y verir — iki xətti tənlik alınır.

Qrafik. Hər tənliyi y-ə görə yaz və qrafikləri çək: həllər kəsişmə nöqtələridir. Qrafik həllərin sayını göstərir; oxunan nöqtəni cəbri yoxla.

4 · Hesabla

Dörd üsul — dörd nümunə

Nümunə 1Eyni əsas

Sistemi həll edin: 9x+y = 7293x−y−1 = 1

1. Sağ tərəfləri eyni əsasla yazırıq: 729 = 93, 1 = 30.
2. Üstləri bərabərləşdiririk: x + y = 3, x − y − 1 = 0.
3. Toplayırıq: 2x = 4, x = 2; onda y = 1. (2; 1)

Nümunə 2Əvəzetmə

Sistemi həll edin: x − y = 12x + 2y = 12

1. Birinci tənlikdən x = y + 1.
2. İkinciyə yazırıq: 2y+1 + 2y = 12, yəni 2y · (2 + 1) = 12.
3. 2y = 4, y = 2; x = 2 + 1 = 3. (3; 2)

Nümunə 3Tərəf-tərəfə toplama

Sistemi həll edin: 2y−x − 5y = 32y−x + 5y−1 = 9

1. Hər iki tənlikdə eyni ifadə 2y−x var. Birincini (−1)-ə vurub ikinci ilə toplayırıq: 5y + 5y−1 = 6.
2. Ortaq vuruq: 5y · (1 + 15 / ) = 6, buradan 5y = 5, y = 1.
3. Birinci tənliyə yazırıq: 21−x − 5 = 3, 21−x = 8, 1 − x = 3, x = −2. (−2; 1)

Nümunə 4Yeni dəyişənlər

Sistemi həll edin: 3x − 3y = 63x+y = 27

1. u = 3x > 0, v = 3y > 0. Çünki 3x+y = 3x · 3y, sistem: u − v = 6, u · v = 27.
2. v = u − 6: u(u − 6) = 27, u2 − 6u − 27 = 0, u = 9 və ya u = −3.
3. 3x mənfi ola bilməz, u = −3 atılır. u = 9, v = 3 ⇒ x = 2, y = 1. (2; 1)

5 · Diqqət

Qüvvətlərin cəmini birləşdirmək olmaz

Səhv düşüncə

2x + 2y = 2x+y

x = y = 1 olanda sol tərəf 4, sağ tərəf də 4 — amma x = 2, y = 1 olanda 6 ≠ 8. Bu, qayda deyil.

Düzgün

2x · 2y = 2x+y

Üstlər yalnız hasildə toplanır. Cəm görəndə əvəzetmə və ya yeni dəyişən işlət.

İkinci tələ: yeni dəyişəndən sonra kvadrat tənliyin hər iki kökünü saxlamaq. Nümunə 4-də u = −3 də alındı, amma 3x = −3 bərabərliyi heç bir x üçün doğru deyil. Hər kökü u > 0 şərti ilə yoxla.

6 · Qrafik

Neçə həll var? Qrafik deyir

Sistem: y = 2xy = x + 1

Əvəzetmə 2x = x + 1 tənliyini verir — onu adi üsullarla həll etmək çətindir. Qrafiklər isə dərhal göstərir: qabarıq üstlü əyri düz xətti iki nöqtədə kəsir.

Yoxlayırıq: (0; 1) — 20 = 1 = 0 + 1 ✓; (1; 2) — 21 = 2 = 1 + 1 ✓. Deməli, sistemin iki həlli var.

y = 2ˣ və y = x + 1 qrafikləri iki nöqtədə kəsişir

Başla Yenidən Yenidən

Əyri qabarıqdır, ona görə düz xətti ən çoxu iki dəfə kəsə bilər.

7 · Həyatda

İki filmin tamaşaçıları nə vaxt bərabərləşir?

Dərslikdəki modeldə 2004-cü ildən x il sonra a filminin tamaşaçı sayı y = 4000 · 1,25x, b filminin sayı isə y = 12000 · 0,87x-dir. Biri hər il 25 % artır, digəri 13 % azalır. Kəsişmə nöqtəsi — sistemin həlli.

İki filmin tamaşaçı sayının qrafikləri təxminən 3 ildə kəsişir

Kəsişmədən əvvəl b filminin, sonra a filminin tamaşaçısı çoxdur.

4000 · 1,25x = 12000 · 0,87x(1,25 : 0,87)x = 3x = log1,25/0,87 3 ≈ 3,03

Tamaşaçılar (modelə görə, yuvarlaqlaşdırılıb)

Təxminən 2007-ci ildə hər filmin ≈ 7 870 tamaşaçısı olur; bundan sonra a filmi öndədir. Rəqəmlər dərslik modelinə aiddir, real statistikaya yox.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 3x−y = 1 tənliyindən hansı xətti tənlik alınır? Cavab variantları x − y = 1 x − y = 0 x − y = 3 Düzdür! 1 = 30, deməli üst sıfırdır. Yox. 1-i 3-ün qüvvəti kimi yaz: 1 = 30. Həllə bax 1 = 30, ona görə 3x−y = 30 və x − y = 0.
2. Asan Sistemdən x-i tapın: 2x+y = 8, x − y = 1. Cavab variantları 2 3 4,5 Əla! x + y = 3 və x − y = 1, x = 2. 8 = 23, deməli x + y = 3 (8 deyil). Sonra x − y = 1 ilə topla. Həllə bax 2x+y = 23 ⇒ x + y = 3. Toplayırıq: 2x = 4, x = 2 (y = 1).
3. Orta Sistemi həll edin: 5x · 5y = 125, x − y = 1. Cavab variantları (1; 2) (2; 1) (3; 0) Düzdür! 5x+y = 53, x + y = 3. Cütü yoxla: x − y = 1 olmalıdır və 5x · 5y = 5x+y. Həllə bax 5x · 5y = 5x+y = 53 ⇒ x + y = 3; x − y = 1 ⇒ x = 2, y = 1. (1; 2) ikinci tənliyi, (3; 0) isə birinci tənliyi pozur.
4. Orta 2x + 2y = 10, x − y = 2 sistemindən x + y cəmini tapın. Cavab variantları log210 2 4 Əla! 2y · 5 = 10, y = 1, x = 3. 2x + 2y ≠ 2x+y. x = y + 2 yazıb əvəz et. Həllə bax x = y + 2: 2y+2 + 2y = 2y(4 + 1) = 10 ⇒ 2y = 2, y = 1, x = 3, x + y = 4. «log210» cəmi birləşdirmək səhvindən, «2» isə yalnız x − y-dən gəlir.
5. Çətin 2x · 3y = 12, 3x · 2y = 18 sistemindən x · y hasilini tapın. Cavab variantları 3 2 6 Düzdür! x + y = 3, x − y = 1, x = 2, y = 1. Tənlikləri vur (6x+y = 216) və böl ((2/3)x−y = 2/3) — iki xətti tənlik alınır. Həllə bax Vururuq: 6x+y = 216 = 63, x + y = 3. Bölürük: (2/3)x−y = 12/18 = 2/3, x − y = 1. x = 2, y = 1, x · y = 2. «3» x + y cəmidir, «6» isə əsasdır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• af = ag ⇔ f = gEyni əsasa gətir və üstləri bərabərləşdir — sistem xətti olur.
• u = ax > 0Təkrarlanan qüvvəti yeni dəyişənlə əvəz et; mənfi kökü at.
• (x; y) ✓ ✓Tapılan cütü hər iki tənlikdə yoxla; qrafik həllərin sayını göstərir.

Növbəti mövzu: 6.67 Loqarifmik tənliklər sistemi

Mənbələr: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Üstlü tənliklər sistemi», səh. 289 (Nümunə 1–3, tapşırıq 1e və 2 — film modeli); «Riyaziyyat» — 10-cu sinif üçün dərslik, «Üstlü tənliklər», səh. 268–269. Tipik tapşırıq növləri DİM-in «Riyaziyyat. Test toplusu» (2019, 2023, 2025, II hissə) əsasında seçilib. Özünüyoxlama sualları və qrafik nümunəsi bu dərs üçün tərtib olunub.