Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi

• 4.8
• 9-cu sinif
• n-ci dərəcədən kök

Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi

Kalkulyatorsuz de: hansı böyükdür — 3 · ³√(4), yoxsa 2 · ³√(14)? Birinin vuruğu böyükdür, o birinin kökaltısı. Vuruqları kökün altına salan kimi cavab görünür: ³√(108) < ³√(112).

Bu dərsdə

• vuruğu qüvvətə yüksəldib eyni dərəcədən kökün altına salacaq və nəticəni vuruğu çıxarmaqla yoxlayacaqsan;
• mənfi vuruğun tək üstlü kökə işarəsi ilə girdiyini, cüt üstlü kökdə isə «−» kimi qarşıda qaldığını izah edəcəksən;
• vuruqları kökün altına salıb ədədləri müqayisə edəcək və iç-içə kökləri sadələşdirəcəksən.

Tərəzi: 3 · ∛4 ilə 2 · ∛14 — vuruqları kökün altına salanda ∛108 < ∛112

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Hesabla
4. İşarə qapısı
5. Dəyişənlər
6. Müqayisə
7. İç-içə köklər
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hər ədədi kök kimi yazmaq olar

4.5-dən bilirsən: mənfi olmayan ədədin n-ci dərəcədən kökü elə mənfi olmayan ədəddir ki, onun n-ci qüvvəti kökaltı ifadəyə bərabərdir. Bunu tərsinə oxuyaq. 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81 olduğuna görə

3 = √(9) = ³√(27) = ⁴√(81).

Deməli, mənfi olmayan vuruğu istədiyimiz dərəcədən kök şəklində yaza bilərik: onu həmin dərəcədən qüvvətə yüksəldirik və kökün altına yazırıq.

İndi 3 · ³√(4)-ə baxaq. 3-ü kub kök şəklində yazırıq və 4.6-dakı hasilin kökü xassəsini sağdan sola oxuyuruq: √(a) · √(b) = √(ab).

1. 3 = ³√(27), çünki 33 = 27
2. 3 · ³√(4) = ³√(27) · ³√(4)
3. ³√(27) · ³√(4) = ³√(27 · 4) = ³√(108)

Vuruq kökün altına «girdi»: kökün qarşısında heç nə qalmadı. Yoxlama 4.7-dəki kimidir, yalnız tərsinə: ³√(108) = ³√(27 · 4) = 3 · ³√(4) — vuruğu geri çıxaranda başladığımız ifadə alınır.

Çıxarmaq (4.7)

³√(108) = 3 · ³√(4)

Kökaltını kiçildib ifadəni sadələşdirir.

Daxil etmək (4.8)

3 · ³√(4) = ³√(108)

Ədədi bir kök şəklinə gətirir: müqayisə və sadələşdirmə üçün.

2 · Qayda

Vuruq kökün üstü qədər qüvvətə yüksəlir

Yadda saxla

a ≥ 0 olduqda vuruğu n-ci dərəcədən kökün altına salmaq üçün onu n-ci qüvvətə yüksəldib kökaltı ifadəyə vururuq:

a · ⁿ√(b) = ⁿ√(an · b)

a — vuruq, n — kökün üstü (dərəcəsi). Vuruğun qüvvət üstü kökün üstünə bərabərdir.

Dərslikdə: «İstənilən vuruğu tək dərəcədən qüvvətə yüksəldərək, həmin dərəcədən kök işarəsi altına daxil etmək olar.»

Vuruq kökün altına necə girir

Narıncı vuruq kökün altına girəndə mavi üstü özü ilə «götürür»: 3 · ³√(4) = ³√(33 · 4) = ³√(108).

Niyə a ≥ 0 şərti? Qayda a = ⁿ√(an) bərabərliyinə söykənir. Tək n üçün bu bərabərlik bütün a-lar üçün doğrudur. Cüt n üçün isə ⁿ√(an) = |a| (4.5): mənfi a üçün bərabərlik pozulur. Ona görə əvvəlcə üstə baxırıq.

Tək üst: işarə də girir

−2 · ³√(b) = ³√((−2)3 · b) = ³√(−8b)

Vuruq istənilən ədəd ola bilər: (−2)3 = −8, ona görə −2 = ³√(−8).

Cüt üst: «−» qarşıda qalır

−2 · ⁴√(b) = −⁴√(24 · b) = −⁴√(16b)

Dərslikdə: vuruq mənfi olduqda əvvəlcə −1 ilə müsbət ədədin hasili şəklində yazılır, müsbət vuruq kök işarəsi altına daxil edilir, «kökün qarşısında “−” işarəsi saxlanılır». Cüt üstlü kök mənfi ola bilməz, ona görə «−» içəri girə bilməz.

3 · Hesabla

Ədədi vuruqlar

Hər nümunədə eyni iki addım var: vuruğu kökün üstü qədər qüvvətə yüksəlt, sonra kökaltı ifadəyə vur. Vuruq mənfidirsə, əvvəlcə üstün tək və ya cüt olduğuna bax.

Nümunə 1Tam vuruq

5 · ³√(3) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin.

1. Kökün üstü 3-dür, vuruğu kuba yüksəldirik: 53 = 125, yəni 5 = ³√(125).
2. 5 · ³√(3) = ³√(125) · ³√(3) = ³√(125 · 3). 5 · ³√(3) = ³√(375)

Nümunə 2Beşinci dərəcədən kök

2 · ⁵√(7) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin.

1. Üst 5-dir: 25 = 32.
2. 2 · ⁵√(7) = ⁵√(32 · 7). 2 · ⁵√(7) = ⁵√(224)

Nümunə 3Kəsr vuruq

32 / · ³√(169 / ) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin.

1. Kuba yüksəldirik: (32 / )3 = 278 / .
2. 32 / · ³√(169 / ) = ³√(278 / · 169 / ) = ³√(27 · 168 · 9 / ) = ³√(6). 32 / · ³√(169 / ) = ³√(6)

Vuruq kökün altına girib sadələşdi — kök xeyli sadə oldu.

Nümunə 4Mənfi vuruq, tək üst

−0,5 · ³√(24) ifadəsini bir kök şəklində yazın.

1. Üst tək (3) — vuruğu işarəsi ilə birlikdə kuba yüksəldirik: (−0,5)3 = −0,125.
2. −0,5 · ³√(24) = ³√(−0,125 · 24) = ³√(−3). −0,5 · ³√(24) = ³√(−3)

Tək üstlü kökdə ³√(−3) = −³√(3), ona görə cavabı −³√(3) kimi də yazmaq olar.

Nümunə 5Mənfi vuruq, cüt üst

−3 · ⁴√(13 / ) ifadəsini bir kök şəklində yazın.

1. Üst cüt (4) — «−» içəri girə bilməz: −3 = −1 · 3.
2. Kökün altına yalnız 3 girir: 34 = 81, 81 · 13 / = 27.
3. −3 · ⁴√(13 / ) = −⁴√(81 · 13 / ) = −⁴√(27). −3 · ⁴√(13 / ) = −⁴√(27)

⁴√(−27) yazmaq olmaz: cüt üstlü kökün altında mənfi ədəd mənasızdır.

4 · Laboratoriya

İşarə qapısı

Kök işarəsini qapı kimi təsəvvür et. Tək üstlü qapı hər ədədi buraxır, cüt üstlü qapı isə yalnız mənfi olmayanları. Halı seç və Başla düyməsini bas.

Hansı vuruq, hansı kök?

2 · ³√(17) −2 · ³√(17) 2 · ⁴√(17) −2 · ⁴√(17)

İşarə qapısı: vuruq kökün altına girir, yoxsa «−» qarşıda qalır

Başla Yenidən Yenidən

Tək üst, müsbət vuruq. 23 = 8, 8 · 17 = 136: 2 · ³√(17) = ³√(136) ≈ 5,14.

Tək üst — qapı mənfini buraxır. (−2)3 = −8: −2 · ³√(17) = ³√(−136) ≈ −5,14. «−» kökün altına keçdi.

Cüt üst, müsbət vuruq. 24 = 16, 16 · 17 = 272: 2 · ⁴√(17) = ⁴√(272) ≈ 4,06.

Cüt üst — qapı «−» işarəsini saxlayır. −2 = −1 · 2, içəri yalnız 2 girir: −2 · ⁴√(17) = −⁴√(272) ≈ −4,06. ⁴√(−272) isə mənasızdır.

Narıncı — vuruq, mavi — kökün üstü. Qırmızı «−» cüt üstlü kökün qarşısında qalır.

Nəticə: tək üstdə vuruğu işarəsi ilə birlikdə, cüt üstdə yalnız modulunu kökün altına salırıq — mənfi vuruğun «−» işarəsi kökün qarşısında qalır.

5 · Hesabla

Vuruq dəyişəndirsə

Dəyişənin işarəsi bilinmirsə, iki sual veririk: üst təkdir, yoxsa cüt? Cütdürsə, vuruq mənfi ola bilərmi? Cavabı ya verilmiş şərt, ya vuruğun öz şəkli, ya da dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ) deyir.

Nümunə 6Tək üst — şərt lazım deyil

p · ³√(5p) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin.

1. Üst 3 təkdir, ona görə istənilən p üçün p = ³√(p3).
2. p · ³√(5p) = ³√(p3 · 5p) = ³√(5p4). p · ³√(5p) = ³√(5p4)

Nümunə 7Cüt qüvvətli vuruq

y2 · ⁴√(3) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin.

1. İstənilən y üçün y2 ≥ 0: vuruq mənfi deyil, «−» lazım deyil.
2. (y2)4 = y8, ona görə y2 · ⁴√(3) = ⁴√(3y8). y2 · ⁴√(3) = ⁴√(3y8)

Burada işarəni y deyil, vuruğun özü — y2 — müəyyən edir.

Nümunə 8İşarə DMQ-dən

m · ⁶√(−5m / ) vuruğunu kök işarəsi altına daxil edin, DMQ-ni göstərin.

1. Kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır: −5m / ≥ 0, m ≠ 0. Bu yalnız m < 0 olduqda doğrudur.
2. Üst cüt, vuruq mənfi: m = −⁶√(m6).
3. m · ⁶√(−5m / ) = −⁶√(m6 · (−5m / )) = −⁶√(−5m5). −⁶√(−5m5), m < 0

Yoxlama: m < 0 olduqda −5m5 > 0, kök mənalıdır; qarşıdakı «−» ilə nəticə mənfidir — m vuruğu kimi.

6 · Müqayisə

Hansı böyükdür?

Vuruqlar da, kökaltılar da fərqli olanda ədədlərə baxıb müqayisə etmək çətindir. Hər iki ədədi bir kök şəklinə gətiririk:

1. Vuruqları kök işarəsi altına daxil et.
2. Üstlər fərqlidirsə, kökləri ortaq üstə gətir (4.6).
3. Kökaltıları müqayisə et: a > b ≥ 0 ⇒ ⁿ√(a) > ⁿ√(b) (4.5).

Nümunə 9Hero-dakı sual

3 · ³√(4) ilə 2 · ³√(14) ədədlərini müqayisə edin.

1. 3 · ³√(4) = ³√(27 · 4) = ³√(108).
2. 2 · ³√(14) = ³√(8 · 14) = ³√(112).
3. 108 < 112 ⇒ ³√(108) < ³√(112). 3 · ³√(4) < 2 · ³√(14)

Vuruğu böyük olan ədəd kiçik çıxdı: təkcə vuruğa baxmaq yanıldır.

Nümunə 10Kvadrat köklər

5 · √(7) ilə 6 · √(5) ədədlərini müqayisə edin.

1. 5 · √(7) = √(25 · 7) = √(175); 6 · √(5) = √(36 · 5) = √(180).
2. 175 < 180 ⇒ √(175) < √(180). 5 · √(7) < 6 · √(5)

Nümunə 11Fərqli üstlər

2 · ⁴√(6) ilə √(10) ədədlərini müqayisə edin.

1. Vuruğu daxil edirik: 2 · ⁴√(6) = ⁴√(16 · 6) = ⁴√(96).
2. √(10)-u 4-cü dərəcədən kökə gətiririk (üstü də, qüvvət üstü də 2 dəfə): √(10) = ⁴√(102) = ⁴√(100).
3. 96 < 100 ⇒ ⁴√(96) < ⁴√(100). 2 · ⁴√(6) < √(10)

Vuruğu olan ədəd yenə kiçik çıxdı.

7 · Hesabla

Kökün içində kök

Kökaltı ifadədə vuruq və başqa kök varsa, vuruğu əvvəlcə daxili kökün altına salırıq. Sonra kökdən kök xassəsi (4.6) iki kökü birləşdirir: √(ⁿ√(a)) = ⁿ√(a).

Nümunə 12Ədədlə

√(5 · ³√(5)) ifadəsini sadələşdirin.

1. Daxili kök kub kökdür: 5 = ³√(125), 5 · ³√(5) = ³√(125 · 5) = ³√(625).
2. √(³√(625)) = ⁶√(625).
3. 625 = 54: ⁶√(54) = ³√(52) = ³√(25) (üst və qüvvət üstü 2-yə bölünür). √(5 · ³√(5)) = ³√(25)

Nümunə 13Dəyişənlə

a ≥ 0 olduqda √(a · ³√(a)) ifadəsini sadələşdirin.

1. a = ³√(a3), ona görə a · ³√(a) = ³√(a4).
2. √(³√(a4)) = ⁶√(a4) = ³√(a2). √(a · ³√(a)) = ³√(a2)

8 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

Səhv

4 · ³√(7) = ³√(28)

Vuruq qüvvətə yüksəldilməyib.

Düz

4 · ³√(7) = ³√(64 · 7) = ³√(448)

4 = ³√(64): vuruq kuba yüksəlir.

Səhv

3 · ⁴√(11) = ⁴√(99)

Kvadrat kök vərdişi: 3 kvadrata yüksəldilib.

Düz

3 · ⁴√(11) = ⁴√(81 · 11) = ⁴√(891)

Üst 4-dürsə, vuruq da 4-cü qüvvətə yüksəlir.

Səhv

−3 · √(7) = √(−63)

Cüt üstlü kökün altında mənfi ədəd mənasızdır.

Düz

−3 · √(7) = −√(63)

«−» kökün qarşısında qalır.

Səhv

x < 0: x · ³√(6) = −³√(6x3)

Cüt üstün qaydası tək üstə tətbiq edilib: sol tərəf mənfidir, sağ tərəf müsbət.

Düz

x < 0: x · ³√(6) = ³√(6x3)

Tək üstdə x3 özü mənfidir, işarə içəri girir.

Səhv

3 > 2 ⇒ 3 · ³√(4) > 2 · ³√(14)

Yalnız vuruqlar müqayisə edilib.

Düz

³√(108) < ³√(112) ⇒ 3 · ³√(4) < 2 · ³√(14)

Əvvəlcə hər iki vuruğu kökün altına sal.

Səhv

√(5 · ³√(5)) = 5 · ⁶√(5)

Vuruq xarici kökün qarşısında qalıb, kökün altına salınmayıb.

Düz

√(5 · ³√(5)) = √(³√(625)) = ³√(25)

Vuruq əvvəlcə daxili kökün altına girir.

9 · Həyatda

Böyük poster divara sığarmı?

Mədinənin tərəfi 50 sm olan kvadrat posteri var. O, sahəsi 3 dəfə böyük olan kvadrat poster çap etdirmək istəyir. Divarda iki şkafın arasında eni 87 sm olan boş yer var. Yeni poster ora sığarmı?

Sahəsi 3 dəfə böyük poster 87 sm-lik boş yerə sığır

Şəkil miqyaslıdır: yeni poster boş yerə az boşluqla sığır.

Kvadratın sahəsi tərəfinin kvadratıdır. Sahə 3 dəfə artırsa, tərəf √(3) dəfə artır: (√(3))2 = 3. Yeni posterin tərəfi:

a = 50 · √(3) sm.

50 · √(3)-ü 87 ilə müqayisə etmək üçün hər ikisini kvadrat kök şəklinə gətiririk:

a = 50 · √(3) = √(2500 · 3) = √(7500);87 = √(7569); 7500 < 7569 ⇒ a < 87.

Poster sığır: a ≈ 86,6 sm, boş yerdən cəmi 4 mm-ə yaxın dar.

Sahəni ən çox neçə dəfə artırmaq olar? Sahə k dəfə artanda a = 50 · √(k) = √(2500k) olur. √(2500k) ≤ √(7569) şərti 2500k ≤ 7569, yəni k ≤ 3,02… deməkdir. Deməli, 3 dəfə böyük poster hələ sığır, 4 dəfə böyük poster üçün isə 50 · √(4) = 100 sm lazım olardı.

Posterin çərçivəsiz olduğunu və boş yerin eninin dəqiq 87 sm olduğunu fərz edirik.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 2 · ³√(9) vuruğunu kök işarəsi altına daxil et. Cavab variantları ³√(18) ³√(36) ³√(72) ³√(1458) Düzdür: 23 = 8, 8 · 9 = 72. Yox. Vuruğu kökün üstü qədər — kuba — yüksəlt, sonra kökaltına vur. Həllə bax 2 = ³√(8), 2 · ³√(9) = ³√(8 · 9) = ³√(72).
2. Asan −4 · ³√(3) ifadəsini bir kök şəklində yaz. Cavab variantları ³√(−192) ³√(192) ³√(−48) ³√(−12) Düzdür: üst təkdir, (−4)3 = −64. Yox. Tək üstdə işarə də içəri girir və vuruq kuba yüksəlir. Həllə bax (−4)3 = −64, −64 · 3 = −192: −4 · ³√(3) = ³√(−192) (və ya −³√(192)).
3. Orta −5 · ⁴√(2) ifadəsini vuruğu kökün altına salmaqla yaz. Cavab variantları ⁴√(−1250) −⁴√(1250) ⁴√(1250) −⁴√(50) Düzdür: «−» qarşıda qalır, 54 = 625. Yox. Üst cütdür: «−» içəri girmir, vuruq isə 4-cü qüvvətə yüksəlir. Həllə bax −5 = −1 · 5; 54 · 2 = 1250; −5 · ⁴√(2) = −⁴√(1250). ⁴√(−1250) mənasızdır.
4. Orta a = 4 · ³√(2), b = 2 · ³√(12), c = 5. Düzgün sıranı seç. Cavab variantları b < c < a b < a < c c < a < b Düzdür: ³√(96) < ³√(125) < ³√(128). Yox. Hər üç ədədi kub kök şəklinə gətir: 4 = ³√(64), 2 = ³√(8), 5 = ³√(125). Həllə bax a = ³√(64 · 2) = ³√(128), b = ³√(8 · 12) = ³√(96), c = ³√(125); 96 < 125 < 128 ⇒ b < c < a.
5. Çətin x < 0 olduqda hansı bərabərlik doğrudur? Cavab variantları x · ⁴√(7) = ⁴√(7x4) x · ⁵√(7) = −⁵√(7x5) x · ⁵√(7) = ⁵√(7x5) x2 · ⁴√(7) = −⁴√(7x8) Düzdür: üst təkdir, x5 özü mənfidir. Yox. Üç sual ver: üst tək, yoxsa cüt? Vuruq mənfidirmi? «−» harada olmalıdır? Həllə bax x · ⁴√(7): üst cüt, x < 0 ⇒ −⁴√(7x4). x · ⁵√(7): üst tək, işarə içəri girir ⇒ ⁵√(7x5) — doğrudur. x2 ≥ 0 ⇒ x2 · ⁴√(7) = ⁴√(7x8), «−» lazım deyil.
6. Çətin √(3 · ³√(13 / )) ifadəsini sadələşdir. Cavab variantları 3 · ⁶√(13 / ) ⁵√(9) ³√(9) ³√(3) Əla! 3 = ³√(27), 27 · 13 / = 9, √(³√(9)) = ⁶√(9) = ³√(3). Yox. Əvvəl 3-ü daxili kub kökün altına sal, sonra kökdən kök: üstlər vurulur. Həllə bax 3 · ³√(13 / ) = ³√(27 · 13 / ) = ³√(9); √(³√(9)) = ⁶√(9) = ⁶√(32) = ³√(3).

Xülasə

Yadda qalanlar

• a · ⁿ√(b) = ⁿ√(anb)a ≥ 0: vuruq kökün üstü qədər qüvvətə yüksəlib kökaltı ifadəyə vurulur.
• Tək — girir, cüt — qalırTək üstdə mənfi vuruq işarəsi ilə girir; cüt üstdə «−» kökün qarşısında qalır, içəri yalnız modul girir.
• Bir kök şəklinə gətirMüqayisədə vuruqları daxil et, üstləri bərabərləşdir, kökaltıları müqayisə et; iç-içə kökdə vuruq daxili kökə girir.

Növbəti mövzu: 4.9 Rasional üstlü qüvvət

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «1-2. n-ci dərəcədən kök» dərsi, «Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi» bölməsi və çalışmalar, səh. 19–20. Sitatlar dərslikdəndir; nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.