n-ci dərəcədən kökün xassələri

• 4.6
• 9-cu sinif
• n-ci dərəcədən kök

n-ci dərəcədən kökün xassələri

Pianinoda bir oktava 12 yarımtondur: hər yarımton səsin tezliyini eyni ədədə — 12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu)-yə — vurur, 12-si birlikdə isə düz 2 dəfə artırır. La-dan yuxarıdakı Do-ya 3 yarımton var. Tezlik neçə dəfə artır? (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))3 = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 1,19 — bu dərsin xassələri onu bir sətirdə deyir.

Bu dərsdə

• hasilin və nisbətin n-ci dərəcədən kökünü tapacaq, üstləri bərabər olan kökləri vurub-böləcəksən;
• kökün qüvvətini və kökdən kökü sadələşdirəcək, kökün üstünü dəyişməyi öyrənəcəksən;
• müxtəlif üstlü kökləri ortaq üstə gətirib vuracaq, böləcək və müqayisə edəcəksən.

Pianinoda bir oktava: 12 yarımton tezliyi 2 dəfə, 3 yarımton ⁴√2 dəfə artırır

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Hasil və nisbət
3. Hesabla
4. Qüvvət və kökdən kök
5. Üstü dəyiş
6. Laboratoriya
7. Fərqli üstlər
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat kökdən n-ci dərəcəyə

8-ci sinifdən bilirsən: a ≥ 0, b ≥ 0 olduqda kvadrat kök altında a · b (kökün sonu) = kvadrat kök altında a (kökün sonu) · kvadrat kök altında b (kökün sonu). Bəs kub kökdə, 4-cü dərəcədən kökdə də hasilin kökünü hissə-hissə almaq olarmı? İki yolla hesablayaq.

kub kök altında 64 · 125 (kökün sonu)

Əvvəl vur: kub kök altında 8000 (kökün sonu) = 20

Hissə-hissə: kub kök altında 64 (kökün sonu) · kub kök altında 125 (kökün sonu) = 4 · 5 = 20

4-cü dərəcədən kök altında 625 · 0,0016 (kökün sonu)

Əvvəl vur: 4-cü dərəcədən kök altında 1 (kökün sonu) = 1

Hissə-hissə: 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 0,0016 (kökün sonu) = 5 · 0,2 = 1

Hər iki yol eyni cavabı verdi. Bu təsadüf deyil — səbəbi qüvvətin xassəsindədir. Tutaq ki, a ≥ 0, b ≥ 0:

1. n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) ≥ 0 və n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) ≥ 0, deməli hasilləri də mənfi deyil.
2. Hasilin qüvvəti: (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu))n = (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))n · (n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu))n.
3. 4.5-dən (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))n = a, ona görə bu qüvvət a · b-yə bərabərdir.
4. Mənfi olmayan və n-ci qüvvəti ab olan ədəd elə n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu)-dir (hesabi kökün tərifi).

2 · Qayda

Hasilin və nisbətin kökü

Xassə 1

«Mənfi olmayan vuruqların hasilinin n-ci dərəcədən kökü bu vuruqların n-ci dərəcədən kökləri hasilinə bərabərdir.»

n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)

Xassə 2

«Surəti mənfi olmayan, məxrəci isə müsbət olan kəsrin n-ci dərəcədən kökü surət və məxrəcin n-ci dərəcədən kökləri nisbətinə bərabərdir.»

n-ci dərəcədən kök altında ab / (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) / b ≠ 0

Dərslik: «Burada a ≥ 0 və b ≥ 0 həqiqi ədədlər, m ≥ 2, n ≥ 2 və k natural ədədlərdir.» Rənglər: kökün üstü (dərəcəsi), kökaltı ifadə.

Sağdan sola oxu. Üstləri bərabər olan kökləri vurmaq üçün kökaltı ifadələri vurub, kökün üstünü əvvəlki kimi saxlamaq kifayətdir; bölmək üçün kökaltı ifadələri bölürük, üst yenə dəyişmir. Vuruq ikidən çox olanda da belədir: n-ci dərəcədən kök altında abc (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında c (kökün sonu).

Tək üst: mənfi vuruq da olar

Dərslik: «n tək ədəd olduqda 1-ci və 2-ci xassələr a və b mənfi ədədləri üçün də doğrudur.»

kub kök altında −5 (kökün sonu) · kub kök altında −25 (kökün sonu) = kub kök altında (−5) · (−25) (kökün sonu) = kub kök altında 125 (kökün sonu) = 5

Cüt üst: əvvəl hasil

4-cü dərəcədən kök altında −5 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında −125 (kökün sonu) yazılışının mənası yoxdur: mənfi ədədin cüt dərəcədən kökü yoxdur. Amma hasil müsbətdir: 4-cü dərəcədən kök altında (−5) · (−125) (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 5. Cüt üstdə xassəni yalnız mənfi olmayan vuruqlara tətbiq edirik.

3 · Hesabla

Eyni üstlü köklər

Hər nümunədə bir sətir — bir əməl. Sonda cavabı qüvvətə yüksəldib yoxlayırıq.

Nümunə 1Vuruqlara ayır

Hesablayın: kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu)

1. Hər vuruq tam kubdur: 0,008 = 0,23, 343 = 73.
2. Xassə 1: kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu) = kub kök altında 0,008 (kökün sonu) · kub kök altında 343 (kökün sonu) = 0,2 · 7.
3. Yoxlama: 1,43 = 2,744 = 0,008 · 343. kub kök altında 0,008 · 343 (kökün sonu) = 1,4

Nümunə 2Qarışıq ədəd

Hesablayın: kub kök altında 1558 / (kökün sonu)

1. Əvvəl düzgün kəsrə çeviririk: 1558 / = 1258 / .
2. Xassə 2: kub kök altında 1258 / (kökün sonu) = kub kök altında 125 (kökün sonu)kub kök altında 8 (kökün sonu) / = 52 / . kub kök altında 1558 / (kökün sonu) = 2,5

Nümunə 3Kökləri vur

Hesablayın: 4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu)

1. Üstlər bərabərdir (4), kökaltıları vururuq: 4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 75 · 675 (kökün sonu).
2. Vuruqları qruplaşdırırıq: 75 · 675 = 3 · 25 · 27 · 25 = 81 · 625.
3. 4-cü dərəcədən kök altında 81 · 625 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 81 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 3 · 5. 4-cü dərəcədən kök altında 75 (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında 675 (kökün sonu) = 15

Nümunə 4Kökləri böl

Hesablayın: kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu)

1. Xassə 2 sağdan sola: kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu) = kub kök altında 4,32 : 0,02 (kökün sonu) = kub kök altında 216 (kökün sonu).
2. 63 = 216. kub kök altında 4,32 (kökün sonu) : kub kök altında 0,02 (kökün sonu) = 6

Nümunə 5Qoşma ifadələr

Hesablayın: kub kök altında 12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) · kub kök altında 12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu)

1. Bir kökün altında: kub kök altında (12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu))(12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu)) (kökün sonu).
2. Kvadratlar fərqi: (12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu))(12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu)) = 144 − 80 = 64.
3. kub kök altında 64 (kökün sonu) = 4. Üst təkdir, ona görə vuruqların işarəsini yoxlamağa ehtiyac yoxdur (onsuz da 12 > kvadrat kök altında 80 (kökün sonu), çünki 144 > 80). kub kök altında 12 − kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) · kub kök altında 12 + kvadrat kök altında 80 (kökün sonu) (kökün sonu) = 4

4 · Qayda

Kökün qüvvəti və kökdən kök

Xassə 4

«Kökün qüvvəti kökaltı ifadənin qüvvətinin kökünə bərabərdir.»

(n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)

Səbəb: (n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m — m eyni kökün hasilidir, Xassə 1 onları bir kökün altında birləşdirir.

Xassə 5

«Kökdən kök almaq üçün kökaltı ifadə saxlanılır, köklərin üstləri vurulur.»

m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)

Səbəb: x = m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) olsun. Onda xm = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu), buradan xmn = a, həm də x ≥ 0 — deməli x = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu).

Nümunə 6Kökün qüvvəti

Hesablayın: (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2

1. Xassə 4: (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2 = 6-cı dərəcədən kök altında 1252 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 15 625 (kökün sonu).
2. 56 = 15 625, deməli kök 5-dir. (6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu))2 = 5

Hook-dakı hesab da belədir: (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))3 = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu). Bunun niyə 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) olduğunu 5-ci mərhələdə görəcəyik.

Kökdən kök: kvadrat kök içində kub kök 729 — 6-cı dərəcədən kök 729

BaşlaYenidənYenidən

İçdən çölə iki addım və ya bir addımda: üstlər vurulur, 2 · 3 = 6. Yoxlama: 36 = 729. kvadrat kök altında kub kök altında 729 (kökün sonu) (kökün sonu) ilə kub kök altında kvadrat kök altında 729 (kökün sonu) (kökün sonu) eynidir — sıra fərq etmir.

Bir yarımton

Üç yarımton tezliyi 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) dəfə artırırsa, bir yarımton bunun kub köküdür: kub kök altında 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu).

5 · Qayda

Kökün üstünü dəyişmək

Xassə 3

«Kökün üstünü (dərəcəsini) və kökaltı ifadənin qüvvət üstünü eyni bir natural ədədə vursaq və ya bölsək, kökün qiyməti dəyişməz.»

kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)a ≥ 0

Səbəb: hər iki tərəfi kn-ci qüvvətə yüksəltsək, ikisində də akm alınır, ikisi də mənfi deyil.

Nümunə 7Böl: sadələşdir

Sadələşdirin: 8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu)

1. 625 = 54, deməli 8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 54 (kökün sonu).
2. Üstü də, qüvvət üstünü də 4-ə bölürük: 8-ci dərəcədən kök altında 54 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 51 (kökün sonu). 8-ci dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 8Vur: üstü böyüt

kvadrat kök altında 5 (kökün sonu) ədədini 6-cı dərəcədən kök şəklində yazın.

1. Üst 2-dir, 6 almaq üçün 3-ə vururuq; kökaltının qüvvət üstünü də 3-ə vururuq: kvadrat kök altında 51 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 53 (kökün sonu).
2. 53 = 125. kvadrat kök altında 5 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu)

İndi hook tamamlanır: 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) (üst və qüvvət üstü 3-ə bölündü), deməli üç yarımton tezliyi 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) ≈ 1,19 dəfə artırır.

Mənfi əsas

4-cü dərəcədən kök altında (−6)2 (kökün sonu)-də əsas mənfidir, Xassə 3 isə a ≥ 0 istəyir. Əvvəl qüvvəti hesablayırıq: 4-cü dərəcədən kök altında (−6)2 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 6 (kökün sonu). kvadrat kök altında −6 (kökün sonu) yazmaq səhvdir — onun mənası da yoxdur.

Dərslikdəki nümunə

6-cı dərəcədən kök altında x4 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu) əslində hər x üçün doğrudur: x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0, ona görə əsas kimi x2 götürülür.

Beş xassə bir yerdə (dərslikdəki cədvəlin sırası ilə):

• 1n-ci dərəcədən kök altında a · b (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)hasilin kökü
• 2n-ci dərəcədən kök altında ab / (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu) / nisbətin kökü (b ≠ 0)
• 3kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)kökün üstünü dəyişmək
• 4(n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu))m = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)kökün qüvvəti
• 5m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)kökdən kök

6 · Laboratoriya

Ortaq üst: kökləri müqayisə et

kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) ilə kub kök altında 18 (kökün sonu)-dən hansı böyükdür? 18 > 7, amma üstlər fərqlidir — kökaltıları birbaşa müqayisə etmək olmaz. Xassə 3 ilə hər iki kökü eyni üstə gətiririk: ortaq üst üstlərin ən kiçik ortaq bölünənidir (ƏKOB). Eyni üstlü köklərdə isə kökaltısı böyük olan kök böyükdür (4.5: a > b ≥ 0 ⇒ n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) > n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)).

Cütü seç

kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) və kub kök altında 18 (kökün sonu) kub kök altında 7 (kökün sonu) və 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu) 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) və 6-cı dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu)

Ortaq üst: iki kök eyni üstə gətirilir və kökaltıları müqayisə olunur

BaşlaYenidənYenidən

ƏKOB(2; 3) = 6. kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 73 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu), kub kök altında 18 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 182 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 324 (kökün sonu). 343 > 324 ⇒ kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) > kub kök altında 18 (kökün sonu) — kökaltısı kiçik olan kök böyük çıxdı.

ƏKOB(3; 4) = 12. kub kök altında 7 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2401 (kökün sonu), 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 133 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2197 (kökün sonu). 2401 > 2197 ⇒ kub kök altında 7 (kökün sonu) > 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu).

ƏKOB(4; 6) = 12 (24 də olar, amma ən kiçiyi kifayətdir). 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 23 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu), 6-cı dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 32 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 9 (kökün sonu). 8 < 9 ⇒ 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) < 6-cı dərəcədən kök altında 3 (kökün sonu). 4-cü dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu) — hook-dakı üç yarımtondur.

Narıncı oxlar üstün neçə dəfə artdığını göstərir; kökaltı da elə həmin qüvvətə yüksəlir. Zolaqlar ortaq üstdəki kökaltıları eyni miqyasda göstərir (hər cüt öz miqyasında).

7 · Hesabla

Müxtəlif üstlü köklərlə əməllər

Vurmaq və bölmək üçün də əvvəlcə ortaq üstə gətiririk, sonra Xassə 1 və 2 işləyir.

Nümunə 9Vur

Hesablayın: 4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu)

1. ƏKOB(4; 8) = 8: 4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 82 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 64 (kökün sonu).
2. 8-ci dərəcədən kök altında 64 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında 256 (kökün sonu).
3. 28 = 256. 4-cü dərəcədən kök altında 8 (kökün sonu) · 8-ci dərəcədən kök altında 4 (kökün sonu) = 2

Nümunə 10Böl

Hesablayın: kub kök altında 25 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu)

1. ƏKOB(3; 6) = 6: kub kök altında 25 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 252 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu).
2. 6-cı dərəcədən kök altında 625 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 125 (kökün sonu).
3. 125 = 53, üst və qüvvət üstü 3-ə bölünür: 6-cı dərəcədən kök altında 53 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu). kub kök altında 25 (kökün sonu) : 6-cı dərəcədən kök altında 5 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 5 (kökün sonu)

Nümunə 11Dəyişənlə

a ≥ 0 olduqda sadələşdirin: kub kök altında a2 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu)

1. kub kök altında a2 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında a4 (kökün sonu) (üst və qüvvət üstü 2-yə vuruldu).
2. 6-cı dərəcədən kök altında a4 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında a6 (kökün sonu).
3. a ≥ 0 olduğundan 6-cı dərəcədən kök altında a6 (kökün sonu) = a (mənfi a üçün |a| olardı). kub kök altında a2 (kökün sonu) · 6-cı dərəcədən kök altında a2 (kökün sonu) = a

8 · Diqqət

Beş tipik səhv

Səhv

kub kök altında 0,7 (kökün sonu) · kub kök altında 490 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu)

Üstlər toplanıb (3 + 3). Vurarkən üst dəyişmir; 6-cı dərəcədən kök altında 343 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 7 (kökün sonu) ≈ 2,65 tamam başqa ədəddir.

Düzgün

kub kök altında 0,7 · 490 (kökün sonu) = kub kök altında 343 (kökün sonu) = 7

Kökaltıları vur, üst 3 qalsın.

Səhv

kub kök altında 64 (kökün sonu) + kub kök altında 125 (kökün sonu) = kub kök altında 189 (kökün sonu)

Cəm üçün belə xassə yoxdur.

Düzgün

kub kök altında 64 (kökün sonu) + kub kök altında 125 (kökün sonu) = 4 + 5 = 9

Yoxlama: 93 = 729, 189 deyil.

Səhv

kub kök altında kvadrat kök altında 15 (kökün sonu) (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında 15 (kökün sonu)

Kökdən kökdə üstlər toplanıb.

Düzgün

kub kök altında kvadrat kök altında 15 (kökün sonu) (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 15 (kökün sonu)

Üstlər vurulur: 3 · 2 = 6.

Səhv

8-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 74 (kökün sonu) = 49

Yalnız kökün üstü 4-ə bölünüb, qüvvət üstü qalıb.

Düzgün

8-ci dərəcədən kök altında 74 (kökün sonu) = kvadrat kök altında 7 (kökün sonu)

Üstü də, qüvvət üstünü də eyni ədədə bölürük.

Səhv

13 > 7 ⇒ 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu) > kub kök altında 7 (kökün sonu)

Üstləri fərqli köklərdə kökaltılar birbaşa müqayisə olunmur.

Düzgün

kub kök altında 7 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 2401 (kökün sonu) > 12-ci dərəcədən kök altında 2197 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında 13 (kökün sonu)

Əvvəl ortaq üst, sonra müqayisə.

9 · Həyatda

Pianinonun Sol səsi

Do-dan Sol-a 7 yarımton var. Pianinoda (bərabər temperasiya) tezlik (12-ci dərəcədən kök altında 2 (kökün sonu))7 = 12-ci dərəcədən kök altında 27 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) dəfə artır. Musiqiçilər bu intervalı — kvintanı — qədimdən 3 : 2 nisbəti ilə tanıyır. Bəs 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) düz 1,5-dirmi?

Do-dan Sol-a 7 yarımton: 261,63 Hz-dən 392,00 Hz-ə

La = 440 Hz kökləməsində birinci oktavanın Do və Sol səsləri.

HəyatdaKvintanı müqayisə et

12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) ilə 1,5-i müqayisə edin.

1. 1,5-i də 12-ci dərəcədən kök kimi yazırıq: 1,5 = 12-ci dərəcədən kök altında 1,512 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 312212 / (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 531 4414096 / (kökün sonu).
2. 531 4414096 / ≈ 129,7, bu isə 128-dən böyükdür.
3. Eyni üstlü köklərdə kökaltısı kiçik olan kiçikdir: 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) < 1,5. 12-ci dərəcədən kök altında 128 (kökün sonu) < 1,5

Rəqəmlərlə: Do ≈ 261,63 Hz, pianinonun Sol-u ≈ 392,00 Hz, təmiz kvinta isə 261,63 · 1,5 ≈ 392,44 Hz olardı. Fərq yarım hersdən azdır — qulaq onu demək olar ki, eşitmir, amma ortaq üst onu dəqiq göstərir.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hesablayın: kub kök altında 0,32 (kökün sonu) · kub kök altında 0,2 (kökün sonu) Cavab variantları 6-cı dərəcədən kök altında 0,064 (kökün sonu) kub kök altında 0,52 (kökün sonu) 0,4 0,064 Düzdür! kub kök altında 0,064 (kökün sonu) = 0,4, çünki 0,43 = 0,064. Yox. Üstləri bərabər kökləri vururuq: kökaltıları vur, üst 3 qalsın, sonra kökü al. Həllə bax kub kök altında 0,32 (kökün sonu) · kub kök altında 0,2 (kökün sonu) = kub kök altında 0,32 · 0,2 (kökün sonu) = kub kök altında 0,064 (kökün sonu) = 0,4. 6-cı dərəcədən kök altında 0,064 (kökün sonu) üstləri toplayıb, kub kök altında 0,52 (kökün sonu) kökaltıları toplayıb, 0,064 isə kökü unudub.
2. Asan Hesablayın: 5-ci dərəcədən kök altında −0,5 (kökün sonu) : 5-ci dərəcədən kök altında 16 (kökün sonu) Cavab variantları −0,5 0,5 −2 mənası yoxdur Düzdür! (−0,5)5 = −0,031 25. Yox. Üst təkdir — mənfi kökaltı da olar. Kökaltıları bu sırada böl: −0,5 : 16. Həllə bax 5-ci dərəcədən kök altında −0,5 (kökün sonu) : 5-ci dərəcədən kök altında 16 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında −0,5 : 16 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında −0,031 25 (kökün sonu) = −0,5, çünki (−0,5)5 = −0,031 25. 0,5 işarəni itirib, −2 bölməni tərsinə aparıb (16 : (−0,5) = −32), «mənası yoxdur» isə tək üstlü kökü cüt üstlü kimi oxuyub.
3. Orta Hansı ədəd kub kök altında 6 (kökün sonu)-ya bərabərdir? Cavab variantları 6-cı dərəcədən kök altında 12 (kökün sonu) 6-cı dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu) 9-cu dərəcədən kök altında 18 (kökün sonu) 6-cı dərəcədən kök altında 216 (kökün sonu) Düzdür! kub kök altında 6 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu). Yox. Üstü 2-yə vurursansa, kökaltını 2-yə vurma — kvadrata yüksəlt. Həllə bax Xassə 3, k = 2: kub kök altında 6 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 62 (kökün sonu) = 6-cı dərəcədən kök altında 36 (kökün sonu). 6-cı dərəcədən kök altında 12 (kökün sonu) kökaltını 2-yə vurub, 9-cu dərəcədən kök altında 18 (kökün sonu) 3-ə vurub, 6-cı dərəcədən kök altında 216 (kökün sonu) isə kökaltını kuba yüksəldib — o, kvadrat kök altında 6 (kökün sonu)-dır.
4. Orta x istənilən həqiqi ədəddir. Sadələşdirin: 4-cü dərəcədən kök altında kub kök altında x8 (kökün sonu) (kökün sonu) Cavab variantları 7-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) kub kök altında x8 (kökün sonu) kub kök altında x4 (kökün sonu) kub kök altında x2 (kökün sonu) Düzdür! 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu). Yox. Əvvəl kökdən kök (üstlər vurulur), sonra üstü və qüvvət üstünü eyni ədədə böl. Həllə bax Üstlər vurulur, 4 · 3 = 12: 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu). x8 = (x2)4 və x2 ≥ 0, ona görə Xassə 3 ilə 4-ə bölürük: 12-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = kub kök altında x2 (kökün sonu). 7-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) üstləri toplayıb, kub kök altında x8 (kökün sonu) xarici kökü unudub, kub kök altında x4 (kökün sonu) üstü 4-ə, qüvvət üstünü 2-yə bölüb.
5. Çətin a = kub kök altında 9 (kökün sonu), b = 4-cü dərəcədən kök altında 19 (kökün sonu), c = 6-cı dərəcədən kök altında 80 (kökün sonu). Düzgün sıranı seçin. Cavab variantları a < b < c c < a < b c < b < a Düzdür! 6400 < 6561 < 6859. Yox. Üçünü də ortaq üstə — ƏKOB(3; 4; 6) = 12-yə — gətir və kökaltıları müqayisə et. Həllə bax a = 12-ci dərəcədən kök altında 94 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6561 (kökün sonu), b = 12-ci dərəcədən kök altında 193 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6859 (kökün sonu), c = 12-ci dərəcədən kök altında 802 (kökün sonu) = 12-ci dərəcədən kök altında 6400 (kökün sonu). 6400 < 6561 < 6859 ⇒ c < a < b. a < b < c kökaltıları (9, 19, 80) birbaşa müqayisə edib, c < b < a isə yalnız üstlərə baxıb.
6. Çətin Hansı bərabərlik x-in bütün həqiqi qiymətlərində doğrudur? Cavab variantları 8-ci dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu) = 4-cü dərəcədən kök altında x (kökün sonu) kvadrat kök altında 4-cü dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) (kökün sonu) = x 10-cu dərəcədən kök altında x4 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu) 4-cü dərəcədən kök altında x (kökün sonu) · 4-cü dərəcədən kök altında x3 (kökün sonu) = x Düzdür! x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0. Yox. Mənfi x götürüb yoxla, məsələn x = −2. Həllə bax x4 = (x2)2 və x2 ≥ 0, ona görə üstü və qüvvət üstünü 2-yə bölmək olar: 10-cu dərəcədən kök altında x4 (kökün sonu) = 5-ci dərəcədən kök altında x2 (kökün sonu) hər x üçün. x < 0 olduqda 4-cü dərəcədən kök altında x (kökün sonu) mənasızdır; kvadrat kök altında 4-cü dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) (kökün sonu) = 8-ci dərəcədən kök altında x8 (kökün sonu) = |x|. Məsələn, x = −2: kvadrat kök altında 4-cü dərəcədən kök altında 256 (kökün sonu) (kökün sonu) = 2 ≠ −2.

Xülasə

Yadda qalanlar

• n-ci dərəcədən kök altında ab (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) · n-ci dərəcədən kök altında b (kökün sonu)Eyni üstlü köklərdə kökaltıları vur və ya böl, üst qalır; cüt üstdə vuruqlar mənfi olmamalıdır.
• m-ci dərəcədən kök altında n-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu) (kökün sonu) = mn-ci dərəcədən kök altında a (kökün sonu)Kökdən kökdə üstlər vurulur; kökün qüvvəti kökaltının qüvvətinin köküdür.
• kn-ci dərəcədən kök altında akm (kökün sonu) = n-ci dərəcədən kök altında am (kökün sonu)Üstü və qüvvət üstünü eyni ədədə vur və ya böl; fərqli üstləri ƏKOB-a gətirib vur, böl, müqayisə et.

Növbəti mövzu: 4.7 Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», «1-2 n-ci dərəcədən kök» dərsinin «n-ci dərəcədən kökün xassələri» bölməsi, səh. 16–18 (xassələr cədvəli, 29-cu və 39-cu çalışmaların qaydaları). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib. Pianino tezlikləri La = 440 Hz standart kökləməsinə və bərabər temperasiyaya görə hesablanıb.